中文摘要：

时间分数阶偏微分方程在信号处理、最优控制、电磁学、动力学等领域都有重要的应用。近几年，这类方程逐渐成为众多学者研究的热点。在很多情况下，时间分数阶偏微分程解的性质表现出局部奇异，且奇异性质或位置随时间变化，事先无法预知，固定网格上的数值方法已不能对其进行有效的求解。在此情形下，需要使用自适应方法进行数值模拟。自适应方法是当前流行的求解"未知奇异"问题的有效方法，它包含r-方法，h-方法和p-方法。本项目将研究使用r-方法（也称为移动网格方法）求解时间分数阶偏微分方程，主要包含两方面内容1、构造求解时间分数阶偏微分方程的移动网格方法，并得到方法的稳定性和收敛性；2、使用所研究的移动网格方法对时间分数阶偏微分方程中的奇异摄动问题进行有效的数值模拟。

结论摘要：

本项目针对一类分数阶Volterra型积分方程，分数阶导数为Caputo导数的，提出了一种Jacobi谱配置方法，证明了误差在加权的$L^2$ 模和 $L^\infty$模下，该谱方法的收敛性，从而得到了数值解的谱精度。针对一类非线性分数阶多阶方程，构造了Legendre拟谱方法，数值结果标明该方法简单有效。针对一类分数阶积分微分方程，我们构造了Legendre谱配置方法，并给出了相应地方误差分析结果。针对变系数的椭圆问题，给出了基于多层迭代法的后验误差估计方法和自适应算法。此外，利用水平集方法求数值求解了带表面张力的二维两相流问题，该方法不需对界面速度做小校正就能保持界面内的小液滴面积守恒，且可以较容易地扩展到三维。