中文摘要：

稀疏或可压缩信号的精确恢复是压缩感知的重要研究内容，提供了在L1范数逼近下精确恢复信号的数学理论和方法；计算共形几何研究离散曲面的计算方法，发展共形几何不变量，可用于三维曲面的识别、配准和分类；冷冻电子断层术三维重构是结构生物学领域研究纳米尺度下病毒和细胞三维结构的主要方法，主要步骤包括病毒和细胞三维密度图的重建、病毒和细胞三维密度图中蛋白质分子的分割、分类和平均等，现有的数值算法在有限角度三维密度图的精确恢复和三维分类的准确性上面临诸多局限。本项目将基于压缩感知和计算共形几何的理论和方法，研究冷冻电子断层术有限角度三维重建精确恢复的理论问题和重建算法、蛋白质分子的自动分割、曲面的快速三角形剖分和三维分类算法。基于研究的新算法，本项目将研制相应的软件，搭建算法的应用平台，并将其应用于病毒和细胞的三维结构研究中。

结论摘要：

本项目的研究计划在研究过程中根据研究进展进行了适当的改变,在冷冻电镜三维重构、冷冻电镜图像分类和定向方面进行了深入研究。在冷冻电镜三维重构算法方面，提出了基于小波框架稀疏逼近的快速三维重构算法，基于L2梯度流的径向基重构算法，并将原有的显示L2梯度流格式推广到半隐式格式，并证明了算法的收敛性。在冷冻电镜图像分类算法方面，提出了新的平移不变量，构造了快速的分类算法。在冷冻电镜图像的定向问题上，提出了基于等价线的冷冻电镜图像定向算法，通过构造一稀疏矩阵，从而将定向问题转化为特征值问题。另外，在定向的优化方面，提出了基于基于Levenberg-Marquardt 的交替迭代算法并给出了算法的收敛性证明。