中文摘要：

非线性电磁学在电气工程和光学领域的应用非常广泛，但并行自适应有限元方法在该领域的研究工作还很少，缺少成熟的数值分析理论和适合大规模数值模拟的并行自适应算法和程序。另外，三维Maxwell方程的hp-自适应有限元方法是很困难的课题，目前没有见到hp型后验误差估计的可靠性和有效性数学理论，也缺少基于非结构四面体网格的hp-自适应算法和并行程序。本项目拟以工程变压器为目标，研究非线性Maxwell方程的自适应有限元方法和时谐Maxwell方程的hp-自适应有限元方法。通过对非线性涡流问题的数学建模、适定性理论、有限元后验误差估计、自适应有限元算法和并行程序实现等课题的深入研究，形成三维非线性电磁场计算的高效自适应有限元算法和并行程序，利用国产高性能计算机，对工程变压器设计和集成电路参数提取中的涡流问题,进行大规模数值模拟，以期获得和实验数据高度吻合的数值结果。

结论摘要：

本项目以工程变压器和大规模集成电路中的电磁场问题为主要目标，研究时谐Maxwell方程的hp-自适应有限元方法、非线形时变Maxwell方程的适定性理论、并行自适应有限元方法和程序实现。本项目的主要成果如下（1）提出了新的涡流数学模型，将系统大尺度和小尺度之比减小了1000倍，从而可以直接模拟硅钢片结构的三维涡流分布，并且避免了传统均匀化方法在导体边界层内的模型误差。（2）建立了非线性电磁涡流问题新模型解的适定性，并且证明新数学模型的解收敛于原问题的解。（3）基于高阶有限元离散，我们提出了新数学模型的并行自适应有限元方法，并基于软件平台PHG编写了并行计算程序。利用并行机群LSSC3进行上亿未知数规模的数值模拟，获得了与实验数据高度吻合的数值结果。（4）提出了变压器模拟的简化H-ψ公式，证明了非线性涡流问题弱解的存在唯一性，去掉了硅钢片外敷的微米厚绝缘漆膜，将系统大尺度和小尺度之比减小了1000倍，并证明了精确解和近似解之间的最优误差估计，获得了与实验数据高度吻合的数值结果。（5）针对大型变压器的硅钢片结构，我们证明了三维非线性时变Maxwell方程组的均匀化模型，将系统大小尺度之比从减小了6个数量级，并证明当硅钢片厚度趋于零时，小尺度解强收敛于均匀化Maxwell方程的解。（6）基于四面体网格，提出了时谐Maxwell方程的hp-自适应有限元方法，证明了后验误差估计的可靠有效性等数学理论。基于后验误差估计和PHG平台，研制了Maxwell方程的hp-自适应有限元并行程序，并利用多个奇性算例和工程变压器的Benchmark问题，验证了算法的有效性。（7）对电容参数提取问题，设计了一套线性可扩展的并行有限元计算框架，研制了并行软件工具包ParAFEMCap,对具有2232 根导线和22464个通孔的内存电路进行了数值模拟，并行效率达到75%。（8）提出了一种新的各向异性完美匹配层方法，对于各向异性的散射体具有更大的适应性，且具有更好的稳定性。（9）粗糙界面反散射问题是近场光学中主要关心的问题之一，我们针对具有双周期结构的衍射光栅问题，提出了一种傅里叶变换和渐进分析相结合的方法，获得了数据和界面的一个显式表现关系，可以实现稳定的并且具有亚波长超分辨率的界面重构。