中文摘要：

本项目研究非线性算子方程的解及其应用. 具体内容有利用半序方法结合不动点理论建立半序Banach空间中非线性算子的不动点定理；对凸幂凝聚算子展开详细的讨论，并寻求新的方法对其建立一套完整的拓扑度理论；利用拓扑方法、不动点指数、半序方法、分析技巧和不动点理论，研究Banach空间中非线性奇异（脉冲）微分方程、积分方程和积分-微分方程以及非线性奇异多点边值问题和非线性奇异p-Laplacian边值问题的唯一解、正解、负解、变号解、多解的存在性、解的确切个数和解集的整体结构。本项目的研究内容属非线性泛函分析前沿课题，大部分课题在国内外还很少开始研究，因此本项目的研究有着重要的理论意义和应用价值.

结论摘要：

本项目是非线性泛函分析基本的研究课题，有着重要的理论意义和应用价值.主要结果有: 1.利用锥理论得到了半序Banach空间中非线性算子方程解的存在唯一性定理并应用到Banach空间中形式广泛的两类方程. 2.利用凸幂凝聚算子的不动点定理，研究了Bnanch空间中非线性Volterra型积分方程的整体解和一类半线性发展方程的最小最大mild解. 3.利用分析技巧和不动点理论，得到了Banach空间中非线性脉冲Volterra型积分方程和非线性混合型脉冲微分-积分方程初值问题整体解的存在唯一性定理，并给出应用.4.利用Leggett-Williams定理，建立了一维奇异p-Laplacian非线性边值问题多解的存在性定理；利用M?nch不动点定理结合半序方法，得到了Banach空间中含导数项的二阶非线性混合型微分-积分方程初值问题的最小最大解和整体解的存在唯一性和迭代逼近；利用不动点指数，研究了非线性n-阶和m-阶多点奇异边值问题的正解和多个正解的存在性；在较弱的条件下，得到了4-阶非线性奇异Sturm-Liouville边值问题的正解.