中文摘要：

本项目将从射影平坦Finsler度量的研究入手，对具有标量曲率的Finsler度量作深入研究。重点是研究若干重要的非黎曼几何量的特性及其对Finsler度量的旗(flag)曲率的影响，从而进一步揭示具有标量曲率的Finsler度量的几何结构和性质。特别地，我们将着力刻划具有某些非黎曼曲率性质的射影平坦Finsler度量。同时，我们将对芬斯勒时空中的相对论作深入研究，着重探究若干重要的芬斯勒几何量在相对论中的物理意义，研究相对论的光锥和视界的突变性质及奇点理论，并深入研究突变过程的量子化问题。本项目的研究对深刻认识Hilbert第四问题光滑解的几何性质，揭开具有标量曲率的Finsler度量的神秘面纱，拓宽和深化人们对几何空间的认识有重要意义；对深化芬斯勒几何在相对论中的应用、扩展爱因斯坦相对论有重要价值。

结论摘要：

本项目深入探讨了非黎曼几何量对芬斯勒(Finsler)度量的旗曲率的影响，着重研究了射影平坦芬斯勒度量，刻划了射影平坦且具有迷向S-曲率的芬斯勒度量的几何结构。在此基础上，进一步研究了具有标量旗曲率的芬斯勒度量的几何结构和性质，完成了对具有标量旗曲率且具有迷向S-曲率的Randers度量的分类；刻划了Douglas度量的若干重要的非黎曼曲率性质，也研究和刻划了Douglas-Weyl度量的几何性质。我们还揭示了芬斯勒度量的若干重要几何量的共形不变性。(α,β)- 度量是一类比Randers度量更为一般化且具有重要应用背景的芬斯勒度量。我们深入研究了射影平坦的 (α,β)-度量，有效地刻划了具有某些重要曲率性质的(α,β)-度量，得到了一系列重要结果。我们也探讨了芬斯勒几何量在相对论中的物理意义，研究了突变过程中的量子化问题。本项目的研究成果对深化人们对芬斯勒空间的认识有重要意义，已在国内外同行中产生重要影响。三年来，在基金支持下，已发表论文20篇（其中已有6篇被SCI收录），另有17篇论文待发表；加强了国内外学术合作与交流工作，开展了一系列富有成效的学术交流活动。