中文摘要：

1、非交换鞅 凸函数不等式的积分形式及其相关的问题。2、讨论非交换弱 Orlicz 空间并其在非交换鞅中的应用。3、考虑非交换鞅Hardy 空间的原子分解及其相关的问题。4、考虑非交换Hardy空间中的Helson-Szego 型定理。5、在自由概率理论的匡架下讨论自由群生成的子对角代数及其应用问题。

结论摘要：

1. 引进了非交换弱 Orlicz 空间并证明了非交换弱 Orlicz属于Marcinkiewicz型内插定理成立的内插空间类。通过 Rademacher 序列的Khintchine 不等式的弱Phi-函数矩量形式得到了非交换鞅Burkholder-Gundy 不等式的Phi-函数矩量形式。 2. 在非交换情形下对极大函数的凸函数证明了Marcinkiewicz型内插定理。作为应用，证明了鞅的Doob极大函数不等式、收缩算子的经典Dunford-Schwartz 极大遍历不等式、正对称算子的Stein极大不等式凸函数矩量形式的非交换情形。 从而得到了非交换鞅Burkholder-Davis-Gundy 不等式的Phi-函数矩量形式。 3. 考虑了对偶群为全序群的群，其对应的非交换Lp空间上引进了谱的概念，从而刻画了对应的非交换Hardy空间。 4. 讨论了对应于全序离散群的群von Neumann代数，刻画了其上的非交换Hardy 空间。 5. 在非交换 Hardy-Lorentz 空间中证明了Szego型定理。 6. 在非交换Orlicz-Hardy空间中证明了Riezs分解定理、内外元型分解定理。 7. 证明了Hardy-Littewood 极大函数在非交换Lorentz空间上的有界性。 8. 当von Neumann代数没有最小投影时，刻画了相应弱非交换Lp空间的共轭空间。