中文摘要：

对于具有长程相互作用和（或）长时记忆效应的复杂系统，目前已从大量的实验观测中发现其微观几率分布偏离了原来的指数分布，在数学形式上呈现一种更一般性的q-指数分布，该分布反映了物理系统内部的非广延性，由此产生了多种不同的统计研究方法。本项研究对比目前各种统计方法的异同，寻找一种可以和q-指数分布直接对应的非广延熵形式，并进一步分析和熵对应的其他物理量如内能、自由能等的非广延特性，在此基础上建立自洽的热力学关系，进一步发展和完善这一新兴理论；针对有限小系统理论推导所得的q-指数分布进行分析，探索长程相互作用和非广延参数q之间的具体联系；同时结合量子气体系统的已有结论，进一步分析内部相互作用以及系统有限性对热力学性质所产生的影响，寻找提高BEC临界温度的途径。

结论摘要：

对于具有长程相互作用和（或）长时记忆效应的复杂系统，目前已从大量的实验观测中发现其微观几率分布偏离了传统的玻尔兹曼指数分布，在数学形式上呈现出一种更一般性的q-指数分布，该分布反映了物理系统内部的非广延性，由此产生了多种不同的统计研究方法，如Tsallis统计，非完整统计等等。这些统计方法从非广延熵的定义出发，分析子系统之间的几率分布、能量耦合等一系列问题，探索热力学基本定律的表达形式。我们系统分析了非完整统计框架下的子系统之间的相互作用，重新讨论了非完整统计中的温度定义，发现热力学第零定律在非完整统计中的表述形式不变，为保证热力学与统计的一致性，非完整统计体系内子系统之间的能量应该以一种非广延的形式进行耦合。在此基础上，我们对比了Tsallis统计和非完整统计的几率归一化形式，发现了两者之间的数学结构具有对称性，虽然这两种统计的出发点和描述对象均不相同，但很多的数学表达式存在对应关系。我们采用一种更一般的几率归一化描述，可以将这些非广延统计方法进行统一表示。然而，进一步的研究发现，目前已有的数类非广延统计方法均无法通过求非广延熵的极值来导出q-指数分布，尽管之前已有许多文献讨论过此类问题，但总是存在一些数学近似。通过热力学第一定律和第二定律的数学表达式可以发现热力学熵的变分与系统微观状态的分布函数之间存在一一对应的关系，利用这一关系可以求出q-指数分布所对应的熵。这一熵函数不同于之前的任何一种非广延熵，而且它同样具备凹状性、佯可加性、非负性以及在q->1时候退化至玻尔兹曼熵的兼容性，尤为重要的是，我们验证了该熵具备Lesche稳定性。除了分析非广延熵的热力学性质，我们也积极寻找q参数在一些实际系统中的意义。如图像系统中各个像素点之间的灰度关联，复杂系统的自相似结构，时间序列的长程关联等等。这些将为研究自然界大量存在的q-指数分布奠定基础。在分析非广延量子系统的过程中，我们注意到有限小量子系统的热力学性质，将量子体系的演化过程与热力学过程进行对比，可以考察不同过程中热力学量的变化，并研究微小量子系统内部的热力学基本原理，进一步理解热力学规律的一般性。