中文摘要：

纽结理论一直是低维拓扑的重要研究领域，近几十年来纽结理论的研究特别活跃，并取得了很多重要的成果，为三维流形的研究提供了丰富的思想和方法。本项目有如下三个方面的内容首先，研究纽结补中的不可压缩曲面的性质，应用曲面与二维球面相交图的特征数给出曲面的欧拉示性数和亏格的刻画，进而研究三维流形的结构以及三维流形Heegaard分解的性质，从而研究几乎交错纽结的Cabling猜想；其次，研究纽结不变量的性质，主要研究整系数的Laurent多项式与纽结多项式的关系，特别是与纽结Jones多项式的关系，给出Laurent多项式是某个纽结Jones多项式的判别法，同时研究纽结多项式根的性质，包括根的分布等；最后，研究纽结理论在图论、生物DNA以及统计力学中的应用，主要研究纽结多项式与平面图多项式的关系、DNA模的表示以及Potts模的性质。通过本项目的研究使得纽结理论在相关领域的研究有一个新的突破。

结论摘要：

本项目主要研究了纽结补中的本质曲面的性质、纽结不变量和三维流形不变量、纽结多项式的应用。完成了该项目的各项任务。 1、纽结补中的本质曲面的研究。我们主要研究了交错纽结补和几乎交错纽结补中的本质曲面的性质。主要是利用图的性质来进行研究，而这些图是由简单闭曲线组成的，每一个闭曲线都对应一个字串（这个字与曲面的边界数有关），必须深刻理解字表示的含义以及每个曲线准确的字表示。特别当纽结是几乎交错时，则曲线字的表示与交 错情形有很大的不同。这时有两类特色型曲线，我们主要解决由此带来的问题，而且研究一般图的情形（以前的研究主要是简单图的情形）。从而给出曲面欧拉示性数、亏格的深刻的刻画以及三维流形有关Heegaard 分解的性质。 2、三维流形不变量和纽结不变量的研究。首先我们给出了多项式的微分性质，特别是研究了纽结Arf不变量，我们利用这些性质研究了纽结多项式和整系数多项式的关系对于交错纽结给出整系数是纽结Jones多项式的充分必要条件，同时给出了整系数多项式是纽结Jones多项式的必要条件。利用这些性质研究了纽结的着色多项式和三维流形不变量的计算。通过对纽结不变量的研究来揭示三维流形的性质，研究纽结多项式在某些特殊点值的性质，从而研究了多项式根的分布以及纽结多项式与Laurent多项式的关系。 3、纽结多项式的应用。在DNA重组的过程中，由于酶的作用，原来的DNA结构就会发生变化，而这种变化类似于纽结交叉点的改变。因此我们利用缠绕方程组给出DNA变化的描述，通过有理缠绕的表示给出了方程组的解，也就是给出了DNA重组后的结构。研究了平面图的着色性质，给出了平面图的变换，对于任意一个q-状态图（纽结图）都对应一个二元多项式，记为Z[v,q]. Z[-1,q]恰好是用q种颜色给状态图着色使得两个相邻的状态是不同颜色的个数，我们研究了圆盘被三角剖分后着色的性质。