中文摘要：

考虑工程上常见，但尚未被研究过的一类非线性材料薄板弯曲形变的建模与控制。我们假定性材料是某类各向异性的非线性材料，从给定弹性能和动能出发，用变分原理给出薄板的数学公式，即内部动力学方程和适当的边界条件，特别考虑固定边界条件，自由边界条件，及混合边界条件。对所得模型，建立短时解存在性，进而研究控制问题。用黎曼几何工具研究非线薄板的边界精确可控性问题以及内部精确可控性问题；研究平衡态附近的局部精确可控性；研究从一个平衡态到另一平衡态的大范围精确可控性。在边界上引入反馈控制，用几何方法研究非线性薄板问题整体解存在性和物理能量稳定性；在内部引入反馈控制，研究非线性薄板波问题整体解的存在性和物理能量稳定性。

结论摘要：

本项目的目的是研究非线性薄板的建模与控制及相关问题。我们主要获得了一下成果（1）在假定小形变但材料是非线性情形下，我们求得了非线性薄板的动力学系统，并推广到了非线性薄壳情形；（2）. 研究了变系数Euler-Bernoulli薄板的非线性内反馈的稳定性问题。主要贡献是用黎曼几何方法给出了内反馈域所满足的几何条件。根据非线性反馈率在原点及无穷远处增长阶，分别确立了物理能量的衰减率；（3）. 研究了移动域上变系数波方程的边界反馈稳定性问题，主要结果有对非正径向曲率，我们给出了多项式阶的能量衰减估计；对非负径向曲率，我们求得了能量的下方估计。对非负径向曲率，我们求得了具有移动边界变系数波方程的可控性。（4）. 具有阻尼的外域上变系数双曲系统的能量衰减问题。我们采用微分几何乘子，将能量衰减与径向曲率联系起来。在不同的径向曲率条件下，给出了不同的能量衰减律。（5）. 求得了具有弯曲中面和混合边界条件的热弹性板问精确能控性与近似能控性。 （6）. 薄壳弯曲问题和无穷小等距的结构. (7). 给出了非线性薄壳的成穴问题的公式。 （8）发表了专著《Modeling and control in vibrational and structural dynamics. A differential geometric approach》。详细介绍了近15年来，黎曼几何方法在分布参数系统控制领域中所取得的一系列重要成果。