中文摘要：

赝厄米量子论是对传统厄米型哈密顿量描写的量子论的一个突破。它不但能解决一些在传统厄米理论中无法解释的难题（如Lee Model的鬼态问题），而且能扩展量子理论的研究对象，探求新的研究方法。因此吸引了大量物理学家的关注。到目前为止这个领域已经确立了与厄米型理论相当的理论严密性，部分非常复杂的厄米量子理论已经实现了简洁的赝厄米理论描述，在实验上也有望得到验证和应用。本研究在此基础上尝试建立赝厄米量子统计理论，例如建立赝厄米量子统计理论中的Wigner函数理论；给出相应的配分函数以及宏观热力学量的定义和计算方法；探讨随机哈密顿量理论在赝厄米哈密顿量描写的系综中的具体形式，分析赝厄米哈密顿量和厄米哈密顿量在随机理论中将是互补、互斥还是其它关系。本项目还将研究量子纠缠和压缩在赝厄米理论中的形式和特点。

结论摘要：

在本项目的研究工作中，我们首先发现在热场动力学框架中激光过程可以等效地用一个辛演化过程来描写，并导出了相应的主方程的精确解。我们由此发现了赝厄米哈密顿量在激光过程中的新应用，这个应用很好地揭示了系统与环境的量子纠缠。我们的研究发现，在使用热纠缠态表象后描写激光过程的主方程转化为一个带有非厄米哈密顿量的薛定谔方程。我们给出了这个方程的严格解，并得到了这个解的Kraus算子和形式。在此工作基础上，我们首次严格得到任意初态的激光器中的光子数、二次相干系数、热力学熵等统计热力学物理量的演化规律。与此同时，运用前面研究的结果和研究中发现的新方法， 我们还得到了一般激光过程中的Wigner函数的演化规律，以及重要量子光学器件——分束器内的Wigner函数的量子纠缠规律，我们的上述研究使得人们能够真正地从纯量子角度理解量子光学器件的行为。我们还把新方法应用到描写原子的主方程中，得到了多能级原子体系在外加激励和内在耗散共同作用下的演化规律。在研究激光的量子演化的过程中，我们还发现了一族重要的数理变换广义分数变换。广义分数变换即满足可加性的含参线性变换，是分数傅立叶变换的最大推广。分数傅立叶变换则是傅立叶变换的重要推广，在量子光学和信号处理等多种领域都有重要作用。使用在广义分数变换研究中得到的用量子力学表象理论描述经典函数变换的思路，我们又对许多重要数学物理变换小波变换、菲涅耳变换、短时傅立叶变换等进行了统一研究，以上变换在量子表象理论框架下可以统一地处理，运用新方法我们得到了一个令人惊奇的结果小波变换的母小波无关性。