中文摘要：

设计固体物质上的材料参数分布，使得弹性波在其上的传播表现出特定的性态，在理论和应用上都具有重要价值，但是目前尚缺乏有效的理论工具来指导这种设计。变换方法是一种设计材料参数来控制波传播的新方法,它利用控制方程在两个几何空间之间的关系，来获得特定的物理场分布需要的材料参数分布,可以用于电磁波和流体声波的材料参数设计，然而在固体弹性波控制上应用却受到限制。针对这一问题，本项目将扩展变换方法到固体弹性波控制。首先研究变换方法本身的一种基于变形理论的新理论框架利用连续介质力学的变形理论来解释空间映射，并引入两个空间上的能量守恒。以此为出发点，进一步研究固体变换声学的理论基础、特性及其使用范围，使其成为一种比较成熟的用于固体弹性波调控的材料参数设计方法。研究还针对弹性波调控中的路径控制和非路径控制典型问题，设计变换材料，给出其材料参数的空间分布，实现特定的功能。

结论摘要：

设计固体物质上的材料参数分布，使得弹性波在其上的传播表现出特定的性态，在理论和应用上都具有重要价值。然而，通过材料参数在空间的分布，来控制波场在其上的行为，是一个难于直接求解的反问题。变换方法是一种解决此反问题的有效方法，它通过将已知材料和其上的已知波场映射到新的材料分布（称为变换材料）和波场分布的方法，以一种直观、便捷的方式提供了控制波场的强大工具。本项目以弹性波控制为背景，研究这一方法在这一领域应用的基本理论、方法和案例。研究中以项目负责人及其合作者提出的主轴法为主要技术手段，发展完善了该方法在固体弹性波基于变换材料进行调控的理论框架和应用要点，得到一些有应用潜力的变换材料，同时也扩展了变换方法的一般数理基础。本研究中，首先发展完善了基于变换材料来进行弹性波控制的基础方法——主轴法，指出主轴法与传统获取变换材料方法（基于曲线坐标系和基于变量替换）的核心不同点在于它利用了控制方程的物理不变性，与传统方法强调的数学不变性相比，该方法注意的焦点从寻找变换后的方程形式转向获取已知方程中物理量变换前后的关系，从而提供了将变换方法推广到更广泛物理现象控制的可能性。主轴法还提供了优化变换材料的有力手段，同时由于在弹性波控制方面其获取变换材料的不唯一性，提供了更加丰富的设计选择以适应不同应用需求。研究中给出了一些案例。项目后期，还研究了变换方法更一般的数学物理基础，认为将目标流形作为更高维流形的子流形来考察变换方法，有利于澄清变换方法的本质，统一关于其原理的各种提法，给出其精确应用的范围。并且，曲面上的波控制，就是2维空间嵌入到3维空间的情形，这个研究具有应用价值。本项目的研究成果对于弹性波控制和变换方法本身的发展，都有一定的意义。