中文摘要：

子流形几何是现代微分几何的重要研究内容，其研究不仅具有重要的数学意义，而且在理论物理上也有很多应用。本项目主要探讨子流形的整体几何与分析性质，包括子流形的曲率流、Bernstein性质以及其它相关几何问题等方面。具体地，我们一是研究发展速度为一类非齐性曲率函子的凸超曲面曲率流和具有位置向量平衡项的曲率流及其在图像处理中的应用，二是研究欧氏空间中一类高余维子流形的平均曲率流，三是研究Kahler-Einstein流形中一类辛子流形的平均曲率流，四是研究弯曲伪黎曼流形中非紧类空子流形的平均曲率流，最后是研究弯曲外围空间中高余维数子流形或类空子流形的Bernstein性质。这些都是当前微分几何和几何分析研究的基本问题或热点问题，也是理论物理学家关注的重要问题。

结论摘要：

本项目主要探讨流形的整体几何和分析性质，包括子流形的曲率流、黎曼流形的特征值研究、以及开流形的微分同胚性质等方面。本项目按计划完成了研究任务，具体地，我们研究了如下三方面问题。（1）子流形的曲率流方面，我们一是研究了欧氏空间中凸超曲面和Pinching子流形的具有位置向量方向外力场的平均曲率流，证明了随着外力场大小的不同，凸超曲面会出现有限时间内收缩到一球形点，或长时间存在并收敛到球面，或发散到无穷远三种情况，并且规范化后均收敛到标准球面。二是研究了一类近Fuchsian流形保持曲面面积的平均曲率流和凸锥中具有垂直边界的保体积平均曲率型流，以及双曲空间中发展速度为第k个平均曲率的幂次方的保体积曲率流，这些流均指数收敛到常平均曲率超曲面。三是研究了Minkowski空间中具有毛细边界的类空图超曲面的平均曲率流问题，证明了该流具有长时间存在性并收敛到平移解。（2）黎曼流形上椭圆算子的特征值估计方面，我们一是给出了Heisenberg群上有界区域水平切丛上椭圆算子的特征值估计，二是研究了紧致流形或子流形上四阶散度型加权椭圆算子和双Drifting拉谱拉斯算子的特征值估计，证明了一个Payne–Polya–Weinberger–Yang型的特征值不等式。三是研究了一大类Ricci平坦流形的有界域上任意阶多重调和椭圆算子的Buckling特征值估计问题。我们均给出了用前k-1个特征值表示第k个特征值估计的万有不等式。（3）黎曼流形的微分同胚研究方面，我们一是研究了截面曲率有下界，且有闭测地线和一定的体积增长的开黎曼流形的结构和性质，证明了该类流形和推广柱面等距。二是研究了开黎曼流形的微分同胚问题，把流形和旋转对称的von Mangoldt模曲面进行比较，运用Toponogov三角形比较定理，证明了该类流形和欧氏空间同胚，从而得到了流形的刚性分类。这些问题都是微分几何与几何分析领域研究的基本课题，也是几何学家与物理学家关心的问题，具有重要的理论意义。