中文摘要：

锥优化是目前国际优化领域热点问题之一。对锥优化的修正Lagrangian对偶理论的研究多局限在修正函数为特殊的凸函数，如二次凸函数或范数等，而对修正函数为一般凸函数甚至非凸函数的研究十分有限。因此我们提出本项目的申请，目的在于利用现代优化的基本工具，如变分分析、扰动分析等，结合锥优化的特殊结构，系统研究当修正函数为一般凸函数或非凸函数时，锥优化的修正Lagrangian对偶理论，包括强对偶定理、鞍点、精确罚表示的存在性等。这是修正Lagrangian对偶理论从传统非线性规划到锥优化的实质性推广，将进一步丰富锥优化的理论体系。最后，将上述研究思路应用到具体的锥优化问题- - 半无限规划(SIP)，建立(SIP)的修正Lagrangian对偶理论。

结论摘要：

本项目利用变分分析、扰动分析等现代优化的基本理论工具，对锥优化的修正Lagrangian对偶理论展开研究。取得的主要研究成果包括 (1) 对一般的凸锥优化，讨论其修正Lagrangian对偶理论，包括强对偶定理；修正Lagrangian乘子的存在性；零对偶间隙、修正Lagrangian乘子、鞍点三者之间的关系。 (2) 讨论非线性二阶锥优化的鞍点存在性在二阶充分性条件下建立局部鞍点存在性；通过扰动分析在不需要约束集紧致及最优解唯一的条件下，建立全局鞍点存在性、全局鞍点与精确罚表示之间的等价关系。 (3) 讨论修正Lagrangian乘子算法的收敛性在不需要乘子序列有界的条件下，建立算法的全局收敛性；设计罚参数新的迭代形式，在罚参数有界或无界的两种情况下，分别建立算法的全局收敛性；给出迭代函数值序列f(xk)收敛的充要条件。 (4) 讨论一类特殊的非对称锥优化问题-圆锥规划建立切锥、法锥、二阶切集的结构表达式；证明圆锥具有二度正则性；研究投影算子的微分性质，如方向导数、次微分、协同导数；研究参数圆锥规划的稳定性等。 上述研究成果进一步丰富了锥优化的理论体系。