中文摘要：

本项目旨在研究抛物平均曲率型方程解的定性行为。研究的问题包括方程右端非线性为各种幂或指数增长情况下解存在性和唯一性，解的爆破与熄灭现象，以及抛物流全局存在性和收敛到稳定状态，利用流结合临界点理论研究相应椭圆问题解的多重性等。这些问题对于半线性抛物方程已经被广泛研究。抛物平均曲率型方程是拟线性非一致椭圆的，不像半线性问题中有半群工具，因而获取各种先验估计更困难。它和半线性问题相比，还有许多的空白，是一个亟待研究的领域。抛物平均曲率型方程与许多几何,物理背景和图像处理的问题密切相关，解的稳定状态描述了预定平均曲率的曲面，以及毛细现象中的各种悬滴和躺滴的形态。通过相应抛物流的研究，可以帮助人们更好的理解这些几何对象和物理状态。

结论摘要：

抛物平均曲率型方程与许多几何、物理背景和图像处理的问题密切相关，例如解的稳定状态描述了预定平均曲率的曲面以及毛细现象中的各种悬滴和躺滴的形态。在这个项目中，我们获得了一些关于椭圆型和抛物型平均曲率方程的新的有趣的结果。对于发展型的毛细方程，我们显示了这种抛物平均曲率方程存在一种特殊的双爆破现象；我们发展了高维平均曲率型方程的上下解方法，这种结果能被用来证明某些抛物问题的全局解收敛到唯一的极小解；我们也研究了带奇性的旋转对称曲率流，问题来自最近出现在微机电系统中的控制器模型，我们对不同的参数和初值得到了流的收敛性和有限时刻熄灭性结果；我们也改进了更早的关于高阶系统的爆破速率和Liouville型定理的结果。由于在研究抛物方程解的长时间行为时，我们希望知道尽可能多的关于稳态问题解的信息，所以除了前面所说的抛物型方程的结果，我们还获得了许多关于椭圆型方程的结果，包括一维平均曲率方程古典解和非古典解的精确个数以及全局分支曲线，高维问题解的存在性与非存在性结果。这些研究结果已经受到了一些国内外同行的关注，论文陆续被许多学者所引用。