中文摘要：

利用临界点理论、Morse理论、几何指标理论等现代非线性分析方法结合初等分析的方法，研究非线性自共轭离散Hamilton系统的最小周期问题，包括对最小周期的估计，以及具有固定最小周期的周期解存在性与多重性问题。通过对不同类型的离散系统建立相应的基本函数空间和适当的变分结构，将原来的周期解问题转化为相应泛函的临界点问题，通过对变分泛函临界值的估计，结合指标理论研究具有固定最小周期的周期解的存在性与多重性。另一方面，也对周期解的最小周期的进行估计，并讨论这种周期解的个数上下界。对一些难于处理的连续问题，利用研究使其保持连续问题所需要特性的差分格式后的离散系统，得到原连续问题的相关结论。这些问题是辛几何算法的延伸，这项工作对离散系统定性理论的发展具有重要的促进作用，将为离散系统的各种存在性问题提供一种新的理论与方法，进一步发展并完善离散变分理论,具有重要的理论和应用价值。

结论摘要：

基于对临界点理论、Morse理论、几何指标理论等现代非线性分析方法的利用，本项目针对非线性自共轭离散Hamilton系统建立基本的函数空间与合适的变分泛函，将原来的周期解问题转化为相应泛函的临界点问题，结合空间分解技巧，估计临界值的界，研究离散Hamilton系统的最小周期问题。对一些难于处理的连续问题，利用不同的差分格式使其保持连续问题所需要研究的特性，讨论差分格式后的连续系统。同时对六阶差分方程及离散拉普拉斯边值问题周期解、离散Hamiltonian系统的同宿轨的的存在性与多重性进行了研究。由于离散系统在生态、经济、物理、化学以及生物数学中都有着广泛而重要的作用，因而本项目对不仅促进了离散系统定性理论的发展，为离散系统各种存在性问题提供一种新的理论与方法，进一步发展并完善离散变分理论，而且对推进应用数学及相关学科的交叉发展，具有重要的理论意义。