中文摘要：

由于分支现象在众多学科中的重要应用，分支问题自然成为国内外数学家普遍研究的对象，且研究的理论意义和应用价值日益明显。尖点环的分支作为其中的特殊情形，由于其现象和开折中出现的周期性态呈现出极大的丰富性，因此尖点环在实际应用模型中的研究十分有意义和有趣。我们知道，Melnikov函数对弱Hilbert十六问题的研究和极限环的分支问题起着重要的作用。本项目的重点就是研究具有退化奇点的系统的Melnikov函数的渐近展开式，并利用该结果来讨论系统的分支问题。同时将方法改进和推广到实际应用模型中如反应扩散模型，探讨具有退化奇点的应用模型在该奇点的性态和分支情形。同时数值模拟与已有的试验数据进行比较来诊断和分析结果，实现双向渗透，一方面更合理地建立模型，另一方面为工程工作者提供必要的数学依据和信息资源。

结论摘要：

三年来，我们研究了多项式系统的极限环分支，具有广泛应用背景的系统的Hopf分支，图灵分支和分支方向 1. 微分方程在很多学科领域内有重要应用，如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性研究等。由于微分方程的结构稳定性遭到破坏时会出现分支和混沌现象且这些现象在众多学科中有重要应用，分支问题已成为国内外数学家普遍研究的对象。其中Roussarie 给出的Melnikov函数的展开式对研究同宿环的分支至关重要，它对弱Hilbert十六问题的研究起着重要作用。 但当其中的条件不成立时，关于同宿分支的问题结果如何？于是我们研究了一类近哈密顿系统的Melnikov函数的渐近展开式并讨论了其分支问题，发现了系统存在7个极限环的不同分布，这个结果是目前最新的。 2. 构建基因调控网络可以解读复杂的调控关系，理解诸多生物现象比如心跳，呼吸。因此基因调控网络的数学建模是一项意义重大而艰巨的任务。时间滞后是在工业或者物理过程中的一种常见现象，为了精确反应这一现象，时滞量就必须出现在数学模型中。通过正规型理论、中心流形约化和Hopf分支理论，我们研究了一类基因调控网络的Hopf分支， 并调查了时滞和转化率对振子周期和振幅的影响。 3. 应用多尺度的方法，我们研究了一类基因表现模型的超临界分支，得到了产生自持续振荡的条件。 该研究中提出的多尺度技巧在计算标准型方面比中心流形约简办法简单，更易于在计算机上实施。这是一般性的数学理论研究结果。 4.反应扩散方程的斑图动力学作为非线性科学领域内的一个重要分支研究引起了很多学者的兴趣。研究内容涉及物理学、力学、化学、数学、生物学、生态学等各个领域。我们研究了一类反应扩散方程的图灵分支，给出了时滞诱发的图灵分支临界值的计算方法并应用于研究一类捕食捕获模型的图灵分支。 5.时滞耦合的Van der Pol和Duffing系统具有极其复杂的动力学行为。对于具有一定对称性的该系统，我们先证明了它是 Z2 等变对称的，然后借助于动力系统的对称分支理论和代数中的群表示理论研究了时滞可诱发反锁相问题。 同时项目中研究的模型都有相应的数值模拟， 与已有的试验数据进行比较，实现双向渗透，既修正建立的模型，又为工程工作者提供数学依据和信息资源。部分结果已整理成4篇学术论文在国外学术期刊发表。