中文摘要：

本项目为计算机科学与数学科学的交叉研究。以图像在正则化空间中建模为研究主线，从变分PDE 和后小波分析理论(包括脊波、曲线波、剪切波、波原子等)出发，建立后小波变换域上新的图像修复模型及快速算法。项目创新点1)将光滑约束空间进行扩展，建立扩展后空间范数用后小波系数的等价描述与转换, 进而建立后小波域上的新松驰模型及快速算法，有望解决利用偏微分方程迭代求解速度慢的国际难题；2)用后小波分解的多尺度阈值逐次替代微分方程在尺度空间中的时序演化，快速得到后小波阈值子空间的最佳逼近；3)在新模型中引入广义Bregman距离，建立图像的等级分解表示，降低噪声影响，有效弥补图像的信息亏损；4)由于图像纹理的非局部相似性，通过对梯度分层加权，将模型扩展到非局部框架，能以全局信息刻画纹理细节。本项目的完成将在理论上有突破，算法上有创新。新的修复模型和算法既高质量又明显快速，使它有更广泛、更实效的应用价值。

结论摘要：

本项目以图像在正则化空间中建模为研究主线，从变分PDE和后小波分析理论(包括脊波、曲线波、剪切波、波原子等)出发，建立后小波变换域上的图像修复模型及其快速实现算法，主要解决变分PDE求解速度慢和信息亏损两方面问题。使建立的新图像修复模型既快速又高质量，为图像特征提取、指纹识别、人脸识别、压缩感知、卫星探测等热点问题提供广泛的理论基础。本项目在基金资助下，按照研究计划，对后小波域图像修复建模、快速算法和应用等开展了持续深入的研究，取得了预期研究成果，并对部分内容进行了扩充，完成了预期研究目标。共完成论文26篇，其中SCI检索15篇、EI检索10篇。获一项发明专利“一种基于共形几何代数的三维图像配准方法及装置”。出版专著两部，其中《后小波与变分理论及其在图像修复中的应用》经科学出版社出版，并被列为信息计算科学丛书。 项目取得成果可以概括为1) 将光滑约束空间进行扩展，建立扩展后空间范数用后小波系数的等价描述与转换, 进而建立后小波域上的新松驰模型及快速算法，从而有效解决偏微分方程迭代求解速度慢的难题。2) 研究后小波变换域的各种阈值方法和PDE以及尺度空间理论的内在联系，用后小波分解的多尺度阈值逐次替代微分方程在尺度空间中的时序演化，快速得到后小波阈值的子空间最佳逼近，克服传统尺度空间算法的繁琐迭代运算问题。3) 在新模型中引入广义Bregman距离，建立图像的等级分解表示，降低噪声影响，有效弥补图像的信息亏损。4) 利用图像纹理非局部相似性，对梯度算子分层加权，引入非局部算子，建立非局部框架，以全局信息有效刻画图像纹理细节，提高修复图像的质量。5) 将Clifford拟微分算子引入多光谱图像的边缘检测，可以增强模糊边界的识别率，得到比传统方法更完整的目标物体边缘轮廓。