中文摘要：

复杂生物网络涉及到生物体内诸如血管、支气管、人和哺乳动物的脏器等。复杂生物网络分子扩散的动力学行为不再符合经典规律，这就导致其扩散的动力学呈现一些新的规律，本项目的研究借助分数阶微积分理论首先从具有复杂结构的生物组织传输出发，给出分数阶扩散方程各类初边值问题的可计算模型并发展高效离散数值方法；重点研究分数阶偏微分方程的间断Galerkin格式并给出半离散及全离散格式的误差分析；其次，建立钠离子跨肠壁输运的分数阶反常扩散模型，研究钠离子在电势梯度和分数阶反常扩散作用下的跨肠壁输运问题，发展解决该类问题的新算法新理论；建立合理的毛细血管复杂网络的质量传输模型及数值模拟技术，通过科学计算认识毛细血管复杂网络拓扑结构与动力学参数之间的关系，解释毛细血管内的压力、流量以及浓度的变化规律,为临床医学提供理论依据；最后，分析数值计算方法的稳定性和精度并运用实验手段验证理论模型和数值计算的合理性。

结论摘要：

近年来分数阶导数已被成功地用于各种复杂物理和力学现象的建模，本项目从复杂生物网络入手，借助于分数阶微积分理论，针对生物组织传质传热进行研究，得到几种典型的复杂生物组织的分数阶传输模型，利用各种数学工具发展基于分数阶算子的新的数值算法，模拟和分析反常扩散问题和复杂生物网络传输问题。首先，建立了分数阶复合介质分层模型并发展了解析方法及数值技术求解实际问题，取得了较好的成果；考虑了一维有限区域上空间分数阶电报方程，基于Padé 逼近理论，我们建立了空间分数阶电报方程无条件稳定的高阶差分格式给出了全离散格式的唯一可解性，稳定性和收敛性分析。考虑了带有非线性源项的空间分数阶变系数扩散方程，进而给出上述模型的半隐式差分格式(SIDM), 分析了差分格式的稳定性和收敛性。基于差分方程系数矩阵的分解，提出了快速的双共轭梯度稳定性算法(Bicgstab)；对二维非线性时间分数阶反应次扩散方程给出了一种紧致算法，利用傅里叶分析的方法，我们证明了该算法的稳定性和收敛性。建立了展示幂律行为的生物组织传热的分数阶热波模型，并考虑了各类热物理因子，如超声、微波等作用于人体时产生的热学效应，提出了展示幂律行为的复杂人体组织温度震荡效应的新的热波理论；建立了生物活体组织内分数阶双相延迟模型，得到了模型的解析解。数值模拟了牛脑组织内的热波现象，与实验结果吻合得很好；研究了在浓度梯度和电势梯度的共同作用下钠离子跨肠壁的反常输运问题，考虑了一个包含细胞内和细胞间隙的两相模型,建立了带有黎曼—刘维尔空间分数阶导数的输运模型，并用有限差分方法得到了该问题的数值解，研究了在跨肠壁输运过程中，细胞内外两层钠离子的浓度以及毛细血管处钠离子的平均浓度随时间变化的过程。将分形动力学机制引入药物控释系统,得到了具有分数阶反常扩散的一维可动边界问题，提出了基于显式有限差分法的边界固定化（BIM）方法，克服了动边界带来的困难，并以药物在人体基质内释放的可动边界问题为例，获得了数值解，并分析了反常扩散对系统的影响。本项目的实施促进了分数阶微积分、生物力学及交叉学科研究的发展与完善。