中文摘要：

本项目的研究将主要集中于探索第二代小波理论在周期结构材料（声子晶体）弹性波频带结构中的应用，发展其快速有效的计算方法，从理论角度深入研究第二代小波理论在周期结构材料若干波动特性计算方面的有效性和优越性，讨论其数值解和收敛性，并从实验角度检验相关的理论结果。主要内容包括首先针对较简单的一维周期结构材料，探索周期结构材料弹性体波频带结构计算的第二代小波方法；在此基础上，考查如何将第二代小波方法推广用于二、三维周期结构材料的体波频带计算；进一步针对固-固体系和固-流混合体系的二、三维周期结构材料，深入研究含缺陷周期结构材料的第二代小波方法；周期结构材料表面波、界面波的第二代小波方法；周期结构材料板中 Lamb波的第二代小波方法；准周期结构材料的第二代小波方法等；结合上述理论分析，进行有关周期结构材料的试验研究，检验相关的理论结果。该项目的研究为周期结构材料的理论计算提供新的思路。

结论摘要：

本研究项目的结果包括三方面内容（1）非周期和分形声子晶体的局部化；（2）声子晶体的第二代小波方法；（3）基于小波的有限差分和高分辨率谱估计。在第一方面，对于非周期层状声子晶体，含一维随机失谐和非周期的二维声子晶体以及含分形超晶格的层状声子晶体局部化的研究取得了重要成果。采用传递矩阵法和基于平面波的传递矩阵法，首次发现①与Thue-Morse和Fibonacci体系相比，Rudin-Shapiro体系具有最低频率的带隙和最明显的频带分裂现象。而且，与其它非周期体系相比，其局部化因子最小；②局部共振的非周期声子晶体呈现更宽的带隙和平带。由于随机失谐，所有的通带变成了禁带。③对于CLFSL，分形结构的自相似性导致了局部化因子的近似相似性，并且，出现了带分裂特性。除此之外，随着分形级数的增加，弹性波局部化程度加大。④对于GSFSL,分解的带隙数目为M=(1+S)*S/2+1。⑤对于FFSL，两周期FFSL的带隙数目为MS=MS-1+MS-2，对于固定级数，带隙数目不依赖于周期P。在第二方面，研究了声子晶体带结构计算的第二代小波方法，与第一代小波方法的结果进行比较，进一步考察了第二代小波方法的收敛性和精确性。发现第二代小波方法的收敛性和精确性与第一代小波方法相比，效果不明显。反而，第二代小波方法基函数的构造变得较复杂。在第三方面，发展了基于小波的有限差分和高分辨率谱估计，发现①基于小波的有限差分的计算速度比传统有限差分快；②相对于基于Fourier变换的后处理方法，基于高分辨率谱估计的后处理方法在保证计算精度的同时，能明显减少所需的FDTD迭代步数。