中文摘要：

Theta函数及q-级数理论是现代数学的重要研究课题，它们在数论，特殊函数论，组合论，李代数理论，量子代数理论，模形式理论，模微分方程理论及代数几何中的模曲线和模曲面理论等方面都有着重要的应用。近年来，人们愈来愈把上面提及的众多领域作为一个有机的整体进行研究，这从一个方面反映了数学的统一性。本项目计划应用多变量的q-微分算子理论来推导多变量的q-级数的变换公式和求和公式，导出新的多变量的q-级数恒等式和展开公式,进而研究mock-theta 函数;应用椭圆函数理论和Jacobi模形式理论来研究研究模函数满足的非线性微分方程，进而导出重要的Theta函数恒等式，并用这些恒等式来研究相关的数论问题和组合论问题和模代数曲线和曲面问题。

结论摘要：

1．建立了一个三阶 Theta 函数恒等式， 利用此等式给出了 Hischhorn-Garvan-Borwein三阶Theta 函数恒等式的新证明； 给出了eta 函数10次方幂的新的表达式。 2．建立了一个三项的Theta 函数恒等式，利用此恒等式推广了著名的五重积恒等式并给出了Weierstrass 函数加法定理的新证明，给出了Ramanujan 一些恒等式的新的证明。 3．给出了Jacobi 一个新的加法定理， 该定理包含 Winquist 恒等式，Ramanujan's 三阶 Theta 函数恒等式及许多新的横等式为特例。 4．构造了两个五阶椭圆函数，找到了它们满足的非线性微分方程，由此发展了一套研究五阶Eisenstein级数的理论。 5．给出了Ramanujan 循环Theta 函数恒等式的证明，并导出了相关的一些循环Theta 函数恒等式, 研究了它们和Jacobi及Dixon 椭圆函数的关系。 6．建立了关于五阶椭圆函数的一个恒等式，此恒等式包含Ramanujan关于分拆函数模五同余恒等式为特例； 依该恒等式为基础发展了关于模五同余子群上的Eisenstein 级数