中文摘要：

碳纳米管、石墨稀等纳米结构均由SP2杂化的碳碳键结合而成，因此可将其称为SP2碳纳米结构。SP2碳纳米结构以其优越的力学、电学性质受到研究人员的高度关注。本项目以碳纳米管、石墨烯等碳纳米结构为研究对象，建立能描述SP2杂化的晶体结构对其力学尤其是动力学行为影响的考虑应变度梯度的非局部弹性理论有限元方法。在非局部弹性有限元方法中，合理考虑多壁碳纳米管及多层石墨稀层间范德华力。将有限元结果与连续介质理论结果相比较，验证非局部弹性有限元方法的正确性；与分子动力学模拟结果进行比较，验证非局部弹性有限元结果的适用范围。考察有限元结果的合理性，给出合理边界条件。另外，普通有限元方法得到的是偏硬的数值解，而非局部弹性理论有望改造有限元使其得到肯定偏软的数值解。形成有一定通用性的非局部弹性有限元程序。

结论摘要：

考虑小尺度参数的非局部理论被广泛应用于碳纳米管和石墨烯的振动以及波动的研究。采用应变梯度形式的非局部理论建立了碳纳米管及石墨烯振动的欧拉梁模型及板模型，推导其虚功原理，构造能够计算基于应变梯度理论梁及板振动的有限单元，并对碳纳米管及石墨烯的振动进行了深入的研究。项目的主要研究工作包括（1）根据应变梯度理论建立单壁碳纳米管、双壁碳纳管以及嵌于弹性基底的单壁、双壁碳纳米管振动振动的控制方程。推导其虚功方程，构造一个2节点6自由度的梁单元，并对其自由振动行为进行研究。有限元结果显示，该梁单元能够有效的计算基于应变梯度理论的单梁及复梁的振动，计算结果与理论值非常吻合。通过对单壁及双壁碳纳米管振动的模拟，发现基于应变梯度理论所获得的固有频率小于基于经典理论所获得的固有频率。基于这两种方法所得的固有频率之比随着阶数的增大而减小，随着碳纳米管长度的减小而减小，这说明尺度效应对高阶频率以及较小碳纳米管系统的影响比较大。对碳纳米管的固有振型的研究发现，对于非两端简支边界条件，当固有振型两个相邻的节点接近C-C键键长时，固有振型相比于传统理论的变化较大。 (2)建立了单层石墨烯的等效非局部薄板模型，并运用有限元法分析不同边界条件下单层石墨烯振动的小尺度效应。给出了基于弹性应变梯度理论下Kirchhoff板的振动方程，并推导四边简支薄板的解析解；发展了一种4节点24自由度的板单元，用于离散化考虑微结构尺度效应的高阶微分方程。在研究四边简支板振动时，考虑应变梯度的非局部弹性有限元结果和理论分析结果相一致。用有限元计算了不同尺寸、振动模态阶数、边界条件类型以及非局部参数的石墨烯振动。 (3) 采用连续介质板模型以及基于REBO势函数和COMPASS力场的分子动力学模拟了石墨烯热振动。采用连续介质复合Euler梁模型以及复合Timoshenko梁模型，与能量均分原理相结合的方法研究双壁碳纳米管的热振动，并于分子动力学结果进行对比。研究了量子效应对碳纳米管热振动的影响。