中文摘要：

Navier-Stokes方程是描述不可压缩粘性流体运动的数学物理方程，在赋予一定的边界条件和初值条件后，方程的变分问题一般为变分等式问题。然而为了描述某些复杂的流动过程，必须附加更复杂的边界条件，此时Navier-Stokes方程的变分问题为变分不等问题，我们称为Navier-Stokes型变分不等问题，因此研究和构造求解Navier-Stokes型变分不等问题的高性能数值方法在数学和工程实践中都具有重要的意义。本项目主要研究与Navier-Stokes方程相关的变分不等问题的高性能数值方法，包括(1)研究Navier-Stokes型变分不等问题的稳定化有限元方法;(2)构造求解Navier-Stoke型变分不等问题的两重网格算法;(3)研究非定常Navier-Stokes型变分不等问题的全离散格式，最终获得具有良好稳定性的可长时间运行的算法;(4)研究变分不等问题的自适应有限元方法。

结论摘要：

Navier-Stokes 方程是描述不可压缩粘性流体运动的数学物理方程，在赋予一定的边界条件和初值条件后，方程的变分问题一般为变分等式问题。然而为了描述某些复杂的流动过程，必须附加更复杂的边界条件，此时Navier-Stokes 方程的变分问题为变分不等问题，我们称为Navier-Stokes 型变分不等问题，因此研究和构造求解Navier-Stokes 型变分不等问题的高性能数值方法在数学和工程实践中都具有重要的意义。本项目主要研究了与Navier-Stokes型变分不等问题相关的理论和数值方法，并获得了以下结果（1）应用紧方法和Galerkin逼近方法，证明了定常问题解的存在唯一性；应用正则化方法，证明了二维非定常问题强解的整体存在性、唯一性以及渐近性。(2)构造了求解Stokes型变分不等问题的Uzawa迭代算法，证明了算法的收敛性，并给出了收敛速率。数值实验也表明该算法在求解Stokes型变分不等问题数值解时的有效性和稳定性。（3）针对定常Navier-Stokes型变分不等问题，我们研究了它的若干有限元数值方法，包括加罚方法、压力投影稳定化有限元方法、两层加罚方法、两层稳定化方法、两层迭代加罚方法、两层牛顿校正方法、变分多尺度方法等。（4）借助于正则化方法，研究了非定常Navier-Stokes型变分不等问题的半离散稳定化有限元逼近方法，并得到了一些误差估计。