中文摘要：

层Topos包括定义在一个拓扑空间（一般地一个locale）上的层范畴或者定义在一个Grothendieck拓扑上的层范畴。层topos既可以看做一个广义集合范畴或直觉逻辑的语义模型来研究其内蕴的数学结构同时与拓扑和代数几何密切相关。本项目研究主要包括层topos中的内蕴locale的拓扑性质，例如Stone-Cech紧化的构造问题、内蕴局部紧locale的刻画问题等；利用子终层集的生成性，合理引入广义点的概念，从点集的角度研究内蕴空间式locale的拓扑性质，例如分离性、收敛性质等；利用广义点的构造研究层topos中的序结构理论，例如偏序层、完备偏序层、Frame层并且比较它们与相应内蕴对象之间的关系；通过诱导几何态射研究不同locale上层topos之间的拓扑性质和序结构的保持和反射性。项目的开展将解决层topos中的拓扑结构和序结构的一些公开问题并为后续研究开辟一条新途径。

结论摘要：

本项目研究层topos中的拓扑结构与序结构。项目执行期间，项目组成员在层topos中的拓扑结构和序结构、拓扑群范畴的拓扑性质和代数性质等方面取得一系列有意义的重要成果，具体介绍如下 1.我们在任意locale型topos中定义了“点”的概念，任意locale型topos中的全体“点”构成了一个生成集。利用“点”式处理方法，我们给出了偏序层的完备性和定向完备性的刻画以及Frame层的刻画。我们给出了关联层locale的明确刻画，并利用该刻画给出了locale X上的层范畴与X上的切片范畴等价的一个新的直接证明。我们给出了连续偏序层的完全刻画，并且证明了任意代数的完全分配偏序层是内蕴空间式的。 2.在拓扑群范畴研究中，证明了不可度量化的紧的拓扑群具有第一可数剩余，该结果回答了Arhangel’skii’提出的一个公开问题。系统研究了仿拓扑群和半拓扑群的剩余和基数不变量之间的关系，改进和推广了A.V. Arhangel'skii和C. Liu的相关结果。研究了具有局部广义度量化性质的剩余的仿拓扑群和半拓扑群的性质，改进和推广了A.V. Arhangel'skii的相关结果。 3. 引入了邻域系统的概念。证明了邻域系统范畴包含了拓扑空间范畴、locale范畴以及拓扑系统范畴，从而提供了一个可以同时处理拓扑空间、locale和拓扑系统的新平台。给出了locale半正则化的构造，半正则化成为函子的充分条件以及成为反射和余反射的充分条件。 4. 我们研究了直觉模糊等价关系的序结构，证明了直觉模糊等价关系可以应用到聚类分析。