中文摘要：

本课题首先研究常曲率空间的Valuation理论,运用凸多面体与单型的结构特征、结合分析与几何的方法研究常曲率空间中Valuation的特征定理及相关理论.我们还将通过欧氏空间中凸集上推广的内蕴体积与混合体积,流形的向映射以及变换原则等研究流形上Valuation的分类和结构特征.运用流形的Valuation理论,Random变换,Fourier变换等研究流形上的运动公式，Crofton型积分公式以及一些新的几何不等式.我们还将对复空间中的Valuation理论、复运动公式以及复几何不等式等进行研究.这些结果对丰富和发展积分几何具有重大意义. 我们还将对Orlicz空间中的凸体进行专门研究,找出Orlicz空间中几何不变量之间的几何关系，Orlicz仿射不等式和Orlicz Soblev不等式等，这些结果对发展Brunn-Minkowski理论和凸几何都非常重要.

结论摘要：

本项目主要研究了凸体的几何不变量之间的内在关系. 一方面, 利用积分几何学中的运动公式给出了实空间形式下流形的第二基本形式的4次齐次多项式的具体形式, 推广了Chen 和 Chern相关的结果. 我们利用凸体的内蕴体积函数以及赋值理论等理论证明了欧氏空间中凸体的内蕴体积函数和基本对称函数基的等价性. 另一方面, 我们还研究了凸体在 Brunn-Minkowski理论以及 Orlicz-Brunn-Minkowski 理论下的差分体以及反对称多包型的体积乘积函数, 建立了它们体积函数之间的不等式. 我们给出了 Orlicz差分体的体积的上界估计和反对称的多包型的体积乘积不等式以及 Orlicz 仿射几何表面积, Orlicz 仿射等周不等式. 我们的结果推广了L_p-Brunn-Minkowski理论下的体积不等式和仿射等周不等式. 特别地对于平面中具有二阶光滑边界的凸体, 我们给出了一个与之对偶的星体, 称之为曲率星体, 并且用积分几何与凸几何的方法得到了该星体的一些性质及其相关的几何不等式. 第三, 我们还研究了Zygmund-Orlicz型函数空间和Bloch-Orlicz型函数空间之间的复合算子. 我们给出了Zygmand-Orlicz空间上两种函数空间之间推广的复合算子的紧性和有界性的性质, 同时利用Bloch型空间理论中类似的方法, 找到一些有用的引理, 对研究函数空间的复合算子的有界性和紧性的充要条件具有重要的意义.