中文摘要：

本项目主要以非线性泛函分析与偏微分方程的理论为基础，研究耗散非自治无穷维动力系统解的长时间行为。众所周知，研究耗散非自治无穷维动力系统的一个热点问题证明带有临界时滞项、临界非线性项波方程指数吸引子的存在性、稳定性、正则性及维数估计。此类方程有三种情形:(a)内部带有临界非线性项(b)内部带有临界时滞项、临界非线性项(c)内部带有临界非线性项，边界条件带有临界时滞项(局部或者全局)。前两种情形已基本得到解决，但是第三种情形未见有结果，主要困难是边界条件的临界时滞项不能直接控制方程的能量耗散，其特点与前两种情形截然不同，需结合偏微分方程的理论提出新的处理方法，建立关于指数吸引子存在的新结果，从而提出估计指数吸引子维数的新办法。之后考虑指数吸引子的正则性。这些研究将进一步改进和完善耗散非自治无穷维动力系统的基本理论，并且为某些实际问题的解决提供新的思路、方法和重要的理论依据。

结论摘要：

本项目主要以非线性泛函分析与偏微分方程的理论为基础，研究耗散非自治无穷维动力系统解的长时间行为。我们主要研究内部带有临界非线性项，边界条件带有临界时滞项(局部或者全局)的波方程。这种类型的方程，主要困难是边界条件的临界时滞项不能直接控制方程的能量耗散，不能采用以往的方法证明指数吸引子的存在性。首先我们证明了时滞项的一阶导数有界，方程非线性项临界的情形下指数吸引子的存在性，方法主要是把区域分为两个部分方程在区域1上边界的时滞项能直接控制方程的能量耗散，把时滞项不能控制能量耗散的方程放在区域2上，区域2的测度为零，我们不但得到弱空间中指数吸引子的存在性，而且得到强空间中指数吸引子的存在性，此部分结果已经以论文的形式投稿。但是出现更深入的问题，若方程的时滞项的一阶导数有界的限制条件去掉，直接满足临界条件，运用上述方法得不出指数吸引子的存在性，我们初步的想法是把方程围绕不动点进行分解，但需要更进一步的研究。 在上述的研究过程中，我们发现用我们的方法可以解决反应扩散方程在强空间中指数吸引子的存在性。而反应扩散方程在非线性项超临界指数增长的条件下，在强空间中指数吸引子的存在性一直是一个开问题，我们成功的解决了方程的非线性项满足超临界指数增长，反应扩散方程在强空间中指数吸引子的存在性，这部分结果已近得到，以论文的形式投稿中。