中文摘要：

在过渡金属凝聚体中，显著的磁偶极相互作用使得相关研究在量子计算机、材料科学和非线性光学等领域具有重要的应用前景。磁偶极相互作用的表现形式为在Gross-Pitaevskii方程中出现了非线性卷积项，该卷积项的核函数在某些点趋于无穷大，因而具有很强的奇性，且对于卷积项处理其计算量非常大。通过对奇性卷积项进行转化处理，使用加权基函数有限元等方法进行空间离散, 结合具体的物理背景去发展高效的数值方法，使得这类数值方法具有高精度和很好的稳定性，同时能保持物理量的守恒，以便更好地适应复杂计算区域和外势作用下的数值模拟。开展数值方法收敛性研究以及探索高阶磁极矩对超冷原子系统的影响。基于数值模拟，结合半离散的Gross-Pitaevskii方程微分系统的拓扑度方法，探索磁偶极超冷原子问题的量子效应及应用研究，发展处理强关联物理问题的新方法。

结论摘要：

磁偶极冷原子问题是当今数学、物理等学科中富有挑战性的非线性问题。相关研究在量子计算机、材料科学和非线性光学等领域具有重要的应用前景。磁偶极相互作用的表现形式为在Gross-Pitaevskii方程中出现了非线性卷积项，该卷积项的核函数在某些点趋于无穷大，因而具有很强的奇性，且对于卷积项处理其计算量非常大。对于一维问题，通过将奇性在数值离散过程中进行了分离处理，得到了有限元数值方法，进一步得到了非局部的薛定锷方程有限元解的整体存在性结果。对于高维问题，给出了奇性转化的数学模型，结合具体的物理背景和不连续有限元方法去发展了高效的数值方法，很好地模拟了磁偶极冷原子系统以及求解基态和激发态。这类有限元数值方法具有高精度和很好的稳定性，也保持物理量的守恒，同时能更好地适应复杂计算区域和外势作用下的数值计算。应用Wronskian技巧以及微分方程理论获得了相关微分方程正解以及正解的存在性，物质波、孤立子的存在性。结合数值模拟以及解析分析方法，探索了磁偶极超冷原子问题的量子效应并开展了应用研究。