中文摘要：

大规模广义鞍点线性方程组的求解问题来源于科学与工程计算的很多领域。例如流体力学中Stokes方程，Navier-Stokes方程，电磁场力学中Maxwell方程和非线性优化问题等等，经离散逼近后都转化为该类问题的求解。由于广义鞍点矩阵通常是坏条件的，且缺乏对称正定性、对角占优性等特点，使得传统的迭代算法的数值效果并不理想，预处理技术成为了算法成败的关键。针对来源于上述几个领域的广义鞍点问题，本课题将结合Krylov子空间方法探索结构化的预处理技术。包括约束预处理技术及相应的约束预处理共轭梯度方法；乘积型能量预处理技术及相应的预处理极小残量法；分裂型预处理技术及相应的预处理广义极小残量法等。另外，我们在设计这些结构化预处理方法时，将充分结合多重网格、Chebyshev加速技巧以及非精确求解技巧，旨在得到可行、高效的数值算法的同时，通过严密的理论分析，保证算法的稳定性和收敛性。

结论摘要：

本项目依计划完成以下工作:设计了约束型预处理子及约束预处理Chebyshev方法。约束预处理方法通过约束分解和线性变换，将原来对称不定的问题转化为对称正定的问题，进而采用具有短递推格式的迭代方法求解。理论分析表明，精确求解意义下的约束预处理Chebyshev格式是无条件收敛的。收敛速度仅依赖于预处理Schur补的条件数。在此基础上，研究了更加实用的不精确约束预处理Chebyshev格式，Chebyshev外迭代框架对于完成不精确求解的内迭代没有任何限制,只通过控制预处理步骤的残量来控制收敛，操作简单，降低了计算复杂度，节约了计算时间。我们对求解鞍点和广义鞍点问题的不精确约束预处理Chebyshev方法的误差界给出了清晰的描述。它的上界依赖于预处理Schur补矩阵的条件数，约束矩阵的条件数和不精确求解的残量范数界。不精确约束预处理Chebyshev 方法弥补了不精确约束预处理共轭梯度方法收敛性无法保证的不足；针对带偏微分方程约束的优化控制问题，构造了改进对称/反对称分裂预处理子和加性块对角预处理子。针对该问题非对角块矩阵的规模与对角块矩阵的规模相同的特殊结构，该乘积型预处理子避免了求解和近似Schu补矩阵，突破了数值方法求解鞍点问题的瓶颈。这是求解该问题的其他算法所不具备的特点，也是设计求解鞍点问题的高效数值算法的困难所在。经改进对称/反对称预处理后矩阵的特征值全部集中在以1为圆心，谱半径小于1的圆盘内。预处理系数矩阵的特征向量均为正交向量，在特征向量意义下，条件数为1。这些结论为预处理的高效性提供了理论保证。在此基础上，研究了具有对称块对角结构的预处理子。该预处理子适合于具有短递推格式的迭代算法，节省了存储空间和计算时间。