中文摘要：

本项目研究多材料结构优化中的复杂形状和拓扑的表达方法，提出基于水平集（Level-Set）的边界表示法和形状设计中的速度法，将结构优化问题描述成一个在空间和伪时间域的受哈米尔顿－雅可比对流方程主导的动态演化过程。在保证目标函数梯度的优化条件的基础上，通过对边界形状的敏感度分析，得到结构边界形状的最佳变形速度分布。并将结构的形状和拓扑优化问题转化为求解水平集方程及构造相应的高效数值算法。通过三维线弹性实体的拓扑表达体系的建立，结合多材料结构拓扑优化中的材料组合、优化分布和微结构设计基本问题，提出高性能的数值算法，并研制出多材料结构拓扑优化设计软件系统等。该系统可为多材料结构优化设计提供理论分析、仿真和实验平台。项目的预期成果将为工程设计的结构优化问题提供理论基础和方法。

结论摘要：

针对连续体结构拓扑优化存在的问题，如理论研究不足、优化算法复杂及其优化过程中材料边界的复杂拓扑难于处理等，本项目使用水平集方法隐含表示优化的材料几何边界。通过基于嵌入的隐含边界表达方法，使结构在优化过程中自然地处理材料边界的几何拓扑变化。不同于传统的参数变量的结构拓扑优化方法，本项目以材料域的几何形状作为设计参数，利用形状导数理论进行形状灵敏度分析，通过求解水平集方程实现结构的形状与拓扑优化；引入边界曲率流技术修正下降梯度场，是结构边界更加光滑。由于结构拓扑优化的变分问题都是非凸的，所以优化的最终收敛结果严重依赖于初始拓扑猜测，针对这一问题，引入拓扑导数理论。根据拓扑导数的分布情况，在优化迭代的过程中寻找结构的最优拓扑，然后利用形状导数理论实现结构的形状优化。另外一种抑制初始拓扑猜测的方法是根据VonMises应力的分布来寻找结构的最优拓扑，数值算例表明这种产生拓扑的方法和基于拓扑导数的方法产生同样的优化结果。应用上面的理论和方法，将弹性问题的拓扑优化设计扩展到热传导问题的材料分布设计问题，研究了基于热传导理论的最小热量势容耗散问题。通过求解水平集方程获得最优的传热路径，来提高散热效率