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中文摘要：
本项目的研究课题属国际研究的热点，是目前基础数学研究的主流方向。我们的研究目标是在几何变分方法的研究框架下，深入研究流形的几何与拓扑性质之间的相互制约关系。以几何分析中的热方法为研究手段，对黎曼流形中的曲率流、杨-米尔斯流进行深入研究，从而揭示出流形的曲率条件与拓扑结构之间的相互关系，并在一定的几何条件下对流形进行几何或拓扑的分类。本项目的特色在于将整体微分几何、非线性分析及代数几何等多学科的知识综合运用、交叉渗透，尤其是充分利用规范场理论中所发展出来的，诸如热方法、模空间技术、bubbling 技术等一系列卓有成效的方法，去深入研究低维流形的几何和拓扑结构。与此同时，注重这些抽象数学理论对国民经济的实际应用。计划在将抽象的数学理论（如几何变分原理等）应用于图像处理方面取得进展，并有能力用计算机去处理一些在医学、国防、安全方面所需的图像的轮廓提取（如卫星照片分析、指纹辨识）的实际课题。
结论摘要：
本项目的主要研究课题属国际研究的热点，是目前基础数学研究的主流方向。我们的主要研究目标是在几何变分方法的研究框架下，深入研究流形的几何与拓扑性质之间的相互制约关系。以几何分析中的热方法为研究手段，对黎曼流形中的曲率流、杨-米尔斯流进行了深入研究，从而揭示出流形的曲率条件与拓扑结构之间的相互关系，并在一定的几何条件下对流形进行几何或拓扑的分类。与此同时，注重这些抽象数学理论对国民经济的实际应用。我们在将抽象的数学理论（如几何变分原理等）应用于图像处理方面取得进展，并已有能力实际地用计算机去处理一些在医学、国防、安全方面所需的图像的轮廓提取（如卫星照片分析、指纹辨识）的课题。我们在有界变差函数（BV）的范畴下研究了几何变分、热流方程(包括4阶扩散方程)解的存在性、唯一性、稳定性，并研究了解的渐近行为。以此理论成果为指导，提出了图像处理的新模型，以达到图像中信息的有效提取。
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