中文摘要：

延迟微分方程的模型广泛地分布于控制学、经济学、人口学、物理学及生物学等科学与工程领域中，由于其精确解往往难以得到，因此数值求解就显得尤为必要。在延迟微分方程数值解的研究过程中，数值方法的方法阶、收敛性及稳定性等先验估计十分重要。本项目的研究内容主要包括（1）二阶延迟微分方程对称Runge-Kutta方法的延迟依赖数值稳定性，拟给出Gauss方法、LobattoⅢA方法及LobattoⅢB方法等的延迟依赖稳定区域，并推导对称Runge-Kutta方法的延迟依赖稳定判据；（2）延迟积分微分方程波形松弛方法的收敛性，拟解决对积分项的离散化，构造波形松弛方法，并给出收敛性条件；（3）比例延迟积分微分方程谱配置方法的数值分析，拟构造配置解，并分析谱配置方法的精度及收敛阶。本项目的研究不仅可以为延迟微分方程的数值理论的发展提供理论上有意义的补充，而且也可以为其他科学的工程应用提供有效的算法支持。

结论摘要：

延迟微分方程出现在诸如经济学、物理学、生物学等众多的科学与工程领域中。由于其精确解往往难以得到，因此很多研究都关注于此类问题的数值方法。本项目主要考虑二阶延迟微分方程、延迟积分微分方程和比例方程等几类延迟微分方程的数值方法，分析其数值稳定性及收敛性。同时，数值试验也能够支持理论分析的结果，表明在适当的条件下这些数值方法是有效的。目前在本项目的资助下，共发表相关的SCI论文14篇。