中文摘要：

样条函数方法在微分方程数值解、数据拟合和函数逼近等方面都有重要的应用。本课题主要研究样条函数在微分方程数值解方面的算法设计与数值实现， 即样条有限元方法，及其自适应计算。该方法的特点是通过利用单元之间的连续性（或光滑性）条件，能够统一方便地处理连续有限元和光滑有限元的计算， 并且能够方便地进行p-自适应计算。同时通过借鉴连续型有限元方法已有的自适应算法成果和经验来实现与样条有限元方法可配套使用的自适应算法，使其在三维问题的计算中能发挥出灵活、高效的优势。我们将结合目前材料科学领域所关心的薄膜生长问题，深入研究样条有限元方法的实现方式和自适应算法。

结论摘要：

本课题主要研究样条函数在微分方程数值解方面的算法设计与数值实现， 即样条有限元方法，及其自适应计算，该方法的特点是通过利用单元之间的连续性（或光滑性）条件，能够统一方便地处理连续和光滑有限元的计算， 并且能够方便地进行p-自适应计算。本课题主要针对一类非线性的椭圆型方程和不可压Navier-Stokes方程进行了系统的研究，主要结果有1、构造了相应的样条有限元算法； 2、算法的收敛性分析； 3、通过构造二重空间算法进行p-自适应计算；通过数值计算以及与经典有限元方法的比较，特别是高阶有限元方法，样条有限元方法具有高精度、高效率以及构造方便、数值实现简单等特点，在高精度计算中有重要的应用。研究过程基本按申请书研究计划进行；经过三年的努力，在研究的内容、进度、成果和人才培养、学术交流等方面已经达到了项目书的规划和要求，完成SCI期刊论文5篇，培养2名博士生，5名硕士生。