中文摘要：

图的无符号拉普拉斯矩阵是图的邻接矩阵和度对角矩阵的和，其特征值记为q1≥q2≥…≥qn．设C（n，m）是由n个顶点m条边的连通图构成的集合，这里1≤n-1≤m≤（n）．如果对于任意的G∈C（n，m）都有q1（G^＊）≥q1（G）成立，图G^＊∈C（n，m）叫做最大图．这篇文章证明了对任意给定的正整数a=m-n＋1如果 n〉-1/2＋a＋1/2√1＋12a＋12a^2那么n〈q1（G^＊）〈n＋1，进而得到，对任意的G∈C（n，m），只要n 〉-1/2＋a＋1/2√1＋12a＋12a^2，就有q1（G）〈n＋1．

英文摘要：

The signless Laplacian matrix of a graph is defined to be the sum of its adjacency matrix and degree diagonal matrix, and its eigenvalues are denoted by q1 ≥ q2 ≥ …… ≥/qn. Let C（n, m） be a set of connected graphs in which every graph has n vertices and m edges, where 1≤ n - 1 ≤rn ≤ （2^n）. A graph G^＊ ∈ C（n, m） is called maximum if q1（G^＊） ≥ q1（G） for any G ∈ C（n, m）. In this paper, we proved that for any given positive integer a=m-n＋1,n〈q1（G^＊）〈n＋1 if n〉-1/2＋a＋1/2√1＋12a＋12a^2,which leads to ql （G） 〈 n ＋ 1 for any G ∈ g（n, m） whenever n 〉-1/2＋a＋1/2√1＋12a＋12a^2.