中文摘要：

单调性是对扩散方程离散格式的重要要求之一，不单调的格式往往破坏热力学第二定律，引起热流从低温往高温流，在低温区域将导致温度出现负值，在温度变化剧烈的区域将导致非物理振荡。首先，针对单个辐射扩散方程，我们利用网格顶点未知量和网格中心未知量来自适应地构造法向流，得到了一个单调的有限体积格式。该格式能保证计算所得的温度不出现负值且不出现非物理振荡。为了改进单调格式的健壮性，我们用网格边中点未知量替换网格顶点未知量，得到了一个改进的单调格式。然后，我们通过仔细分析两温辐射方程组的特性，基于自适应选取离散模板的方式，设计出了两温非线性辐射扩散方程组的单调格式。对于非线性问题，我们的单调格式不仅保正，并且比九点格式计算效率更高，这说明我们的非线性单调格式在求解非线性问题时的优势十分明显。同时，我们给出了消去辅助未知量的方法，所得的单调有限体积格式都只含有网格中心未知量。总之，我们圆满完成了本项目的研究计划，解决了星形多边形网格上格式不单调的问题，并发表多篇高水平论文。