中文摘要：

小波已成为现代信号处理的重要数学工具。但是通常的离散小波变换(DWT)缺乏平移不变性，其分解输出对原信号的平移表现出强烈的敏感性，严重影响小波系数表征原信号特征的能力，是小波分析中亟待解决的问题。目前已有的各种改进方案都存在引入过大冗余和应用过程复杂等缺陷。本项目将提出一种简洁的非冗余(近似)平移不变DWT。频域分析表明DWT的平移敏感性是由分解过程的降采样环节产生的混叠项造成的。本项目将通过消除混叠项的影响以抑制平移敏感性。针对不同的应用环境，本项目提出了不同的实现方案有的方案在原DWT框架中采用特殊设计的小波滤波器来达到消除混叠项影响的目的，有的方案采用新设计的DWT框架和辅助滤波器来达到抑制混叠项影响的目的。这些方案均有望在非冗余条件下实现DWT近似平移不变。本项目还将开展其在医学图像处理中的应用研究，包括图像配准融合、边缘检测以及正电子发射断层扫描成像（PET）中图像重建等研究。

结论摘要：

主要内容引入了非冗余平移不变小波的概念，提出了对应小波的设计方法，设计了一些小波。小波分析是重要的信号、图像处理工具。但是通常的DWT（离散小波变换）缺乏平移不变性，严重影响小波分解系数表征原信号特征的能力，是小波理论研究中亟待解决的问题。目前已有的各种改进方案均存在引入过多冗余和计算过程过分复杂的缺陷，如“双树复小波变换”和“双密度双树离散小波变换”。本项目同时研究了所设计小波的应用问题。重要结果提出一种克服现有DWT平移敏感性同时保证其非冗余的小波设计方案。这些方案均是在现有DWT框架中重新设计小波滤波器（可由此设计小波母函数）来达到减少平移敏感性的目的，使其在实际应用没有任何障碍。理论分析给出了抑制DWT平移敏感性时小波滤波器应满足的条件，并在通常的小波设计框架下通过增加附加条件设计出符合要求的小波滤波器。信号、图像处理实例证实了使用所设计小波进行DWT时平移敏感性得到了很大改善。创新点提出了新的小波设计方法，设计的小波克服了现有DWT平移敏感性同时保持小波变换非冗余，实现了非冗余平移不变DWT。关键技术频域分析表明平移敏感性主要是由于DWT分解过程降采样过程带来的混叠项造成的。本项目在现有DWT框架下，通过设计新的小波减小了混叠项的影响达到了抑制平移敏感性的目的，因此保证了数据表示不引入冗余。核心科学价值本课题进一步开展其在医学图像处理中的应用研究对于图像配准，使用所设计的小波改善了图像配准算法的稳定性，减小了计算量，避免了使用冗余性小波引入过多计算量；对于磁共振图像，针对Rician噪音模型提高了降噪效果；对于X射线CT图像重建，提出来一种新的迭代算法。总之，作为一种重要的数学工具，非冗余平移不变小波将在信号图像处理中发挥重要作用。经济价值或社会价值此外，在此基金的支持下，还进行了教学研究；进行了X射线相位成像研究，以及非线性系统的反推控制法研究。协助培养了2名博士和3名硕士研究生。未来展望非冗余平移不变小波是小波分析领域的一个新概念，具有广阔的应用前景。目前本项目仅仅完成了理论分析、小波设计和基本的应用研究。鉴于应用对象的多样性，必将需要进一步研究，设计新的小波甚至提出新的理论分析。