中文摘要：

组合弹性梁结构由若干个梁(杆)通过适当的刚接条件耦合而成, 在航空结构,桥梁的建筑设计，机器人的设计与制造等高科技领域具有重要的应用. 本项目拟研究求解组合弹性梁结构非定常问题的波形松弛法, 以获得在时间方向的并行算法，从而实现该类问题的在线计算仿真，具有重要的理论与应用价值. 采用有限元方法在空间方向进行离散, 对杆件的纵向位移和转角用协调元进行离散，对杆件的横向位移用Hermite元离散, 结合离散刚接条件获得半离散有限元方法, 证明能量模意义下的误差估计. 在经离散化方法获得相应的线性方程组的基础上, 构造相应的连续波形松弛法进行求解, 分析方法的收敛性. 然后在时间方向进行离散, 构造高效的离散波形松弛法求解并分析收敛速度，进一步研究加速的波形松弛法及其收敛性。 最后进行数值计算以验证算法的高效性. 可望为数值模拟此类问题提供高效的并行算法, 为上述领域的发展带来积极的推动作用.

结论摘要：

组合弹性梁结构由若干个梁(杆)通过适当的刚接条件耦合而成, 在航空结构, 桥梁的建筑设计, 机器人的设计与制造等高科技领域具有重要的应用. 本项目对于求解组合弹性梁结构非定常问题, 提出并且分析了波形松弛法和两个时间步自适应方法. 这些方法能极大地减少计算工作量, 以获得预期精度的数值解，在组合弹性梁结构及其它结构动力学领域具有重要的理论与应用价值. 在空间方向, 对杆件的纵向位移和转角用协调有限元进行离散，对杆件的横向位移用三阶Hermite元离散, 结合离散刚接条件获得半离散数值格式. 在时间方向, 建立了两个时间有限元方法求解二阶线性发展问题. 应用能量估计及对偶论证方法, 获得了最优阶后验误差估计和节点后验误差估计. 基于误差平均分布策略和上述估计, 设计了两个具有合理步长的时间自适应方法. 给出了数值实验用以说明这些自适应算法的有效性. 构造了逐次超松弛(SOR)波形松弛法, 用以求解和确定性方程所对应的随机方程. 获得了时间连续SOR波形松弛法线性收敛的充分条件. 对于时间离散SOR波形松弛法也获得了收敛性结果. 数值实验表明了方法的有效性. 这些方法对求解组合弹性梁结构非定常问题很有效果, 有望促进相关领域的发展.