中文摘要：

集体振荡现象广泛存在于远离平衡态的物理、化学以及生物等各种系统中。仓本由纪（Kuramoto）在四十年前曾经提出一种同步模型，这种模型中大量具有随机固有频率的振子被局域或全局地耦合在一起。虽然形式简单，但模型能够展现丰富的复杂动力学行为，包括集群的形成和凝聚、临界涨落、相位滑移、拓扑缺陷和与采样相关的有限尺度效应，成为了非线性和统计物理学的一个基本问题。在本课题中，我们计划用统计力学方法对集群振荡进行深入的研究，特别是阐明在涨落中出现有序的机制、继发的硬化和激发现象的本质、以及缺陷成为破坏同步态的重要因素的原因。我们的目标是从微观动力学出发，发展一套以物理图像为引导的同步相变的定量理论。数值模拟和解析计算两种方法和理论预测将被用来对相变附近的各种标度性质进行分析并互相验证。

结论摘要：

集体振荡现象广泛存在于远离平衡态的物理、化学以及生物等各种系统中。 四十年前，仓本由纪(Kuramoto)提出一个由不同相速度振子组成的相位动力学模型，其简洁的数学形式，使得它成了同步现象研究的焦点。该模型不仅代表着一类基本理论问题，也被用来描述一些具体的自然现象，如酵母菌在贫养分溶液中的代谢振荡、萤火虫在夏天的夜晚闪烁等。近几年里，受来自复杂网络领域的兴趣的影响，非线性动力学界对Kuramoto模型所表征的动力学现象又开始了新一轮的研究，最新进展可参考2015年夏在Dresden马普所召开的纪念Kuramoto模型40周年研讨会内容。 在本面上项目的实施中 ，我们主要研究了全耦合Kuramoto模型在临界点的有限尺寸标度行为，其丰富的动力学结构远远超出了我们的预计。数值计算方面，我们通过对不同尺寸系统的序参数时间序列的细致分析，第一次建立了 1）同步振子的数目在临界点与振子总数呈幂函数关系，但幂指数与振子的频率分布有密切关系，特别是给定频率段内的振子数是否包含随机涨落; 2）序参数（正比于同步振子数／振子总数）随时间的涨落，其振幅也与振子总数呈幂函数关系，幂指数值受振子的频率分布影响; 3）当给定频率段内的振子数存在随机涨落时，联系序参量及其涨落标度一致性的超标度关系不成立。 在我们研究的两类频率分布中，有限尺寸指数都为简单分数。这让我们猜测是否可以构造模型有限尺寸标度的解析解。从高维动力学系统理论出发，我们发现了模型的若干有趣的解析性质。目前我们正在进行模型的微扰论和重整化群计算，预计在未来数月里可以得到完整的解析结果。 从研究成果的意义来看，Kuramoto模型包含着非线性领域对于动力学系统可积性的若干核心问题。 我们发现的振子内秉频率分布对有限尺寸指数的影响这一有趣现象需要做进一步的深入研究，希望能从系统高维空间的吸引子可能具有的多频准周期结构中找出答案，问题的解决也触及非平衡统计力学的相关基本问题，如稳态系综的特性等。我们将继续关注这方面的进展。