中文摘要：

本项目主要研究用自适应间断Galerkin（DG）方法，数值求解变分不等式（VIs）。变分不等式是一类十分重要且有用的非线性问题，它们产生并广泛应用于许多不同的领域，如物理，工程，金融，管理和通信等。在解决与时间相关的微分方程上，与连续有限元相比，DG方法更具稳定性和有效性。轻松实现hp自适应算法是DG方法的另一优点，离散的局部性还使DG方法非常适合并行运算。所以，申请人对研究变分不等式的DG格式特别感兴趣。申请人与美国爱荷华大学的韩渭敏教授、浙江大学程晓良教授合作，已经对椭圆VIs的DG方法进行了研究，给出了先验误差估计，证明了线性元达到了最优收敛阶。通过本项目，我们将研究变分不等式的DG方法的先验误差估计和后验误差估计，根据后验误差估计子实现求解VIs的自适应DG方法，使得在现有硬件条件下，扩大计算VIs的规模和提高计算精度。也为下一步实现并行自适应DG方法求解VIs打下基础。

结论摘要：

本项目主要研究用间断 Galerkin（DG）方法数值求解变分不等式。变分不等式是一类十分重要且有用的非线性问题，它们产生并广泛应用于许多不同的领域 。间断 Galerkin 方法在构造局部形函数上有很大的灵活性，且能高效的解决那些真解是非光滑或振荡的问题，并有其它很多优点。本项目负责人王飞博士与美国爱荷华大学的韩渭敏教授、浙江大学的程晓良教授、上海交通大学的黄建国教授等合作，成功完成了本项目的三个相互关联的主要研究内容和计划。研究成果达到预期目标，并撰写文章8篇，其中5篇已发表在国际 SCI 期刊，1篇被录用，2篇在审阅中。首先，对“变分不等式的 DG 方法的先验误差估计”，我们研究了拟静态接触问题，双障碍问题，和双膜问题的 DG 方法，给出了先验误差估计，证明了线性元达到最优收敛阶；我们撰写相关文章3篇，均已发表在国际 SCI 期刊 （［8,3,4］）,其中文章［8］发表在计算数学方向的顶级杂志 “Numerische Mathematik”上。另外，关于“变分不等式的自适应 DG 方法”，我们研究了障碍问题和摩擦接触问题的 DG 方法的后验误差估计，并根据得到的误差估计子设计自适应 DG 算法，大大提高了计算效率，使得在现有硬件条件下，扩大计算规模，并提高计算精度；撰写文章3篇，其中2篇已发表在国际 SCI 期刊([5,10])，1篇在审稿中 ([6])，其中文章［10］发表在应用数学方向的顶级杂志 “Nonlinear Analysis: Real World Applications”上。更进一步，关于“四阶变分不等式的 CDG 方法”，我们研究了关于 Kirchhoff 板弯曲问题的两种变分不等式的 CDG 方法。此方法大大降低了计算的复杂度，提高了计算效率，其中对第一类四阶变分不等式，我们的研究文章已被 Springer 出版的 “Advances in Variational and Hemivariational Inequalities with Applications” 录用 ([11])；对第二类四阶变分不等式，我们证明了 CDG 格式的相容性，双线性型的有界性和稳定性，最终给出 CDG 方法的先验误差估计，证明了二次元的 CDG 方法达到最优收敛阶，数值算例的收敛速度也验证了理论结果。这篇文章在审稿中（[12]）。