中文摘要：

高维可积模型的探索一直是数学,物理学家们感兴趣的重要难题. 然而由于数学上寻找高维可积模型的困难, 这方面的研究进展非常少。同时，实际物理系统有各种各样的近似模型和不可积性。基于近来对非线性水波问题中的可积与不可积方程的精确解研究所得到的许多新的有意义的结果，如近似孤子、定性分析等，本项目将结合数学和物理背景，寻找2+1维非线性水波问题中的可积模型。在实际物理问题，尤其是在非线性水波问题的研究中建立2+1维可积模型，用高维可积模型近似求解实际高维物理问题,研究高维孤子结构及其物理性质。并进一步地将几何与具体物理问题相结合，将物理现象解释为几何问题，将非线性水波问题用曲面运动描述，继而利用曲面运动的方法研究非线性水波问题。

结论摘要：

本项目主要利用定性分析、对称分析、近似分析等方法研究了含单参数的Nwogu的Boussinesq模型的单孤子性质和双孤子解的碰撞；对含多个参数的Bona的Boussinesq模型研究了参数对模型可积性质、物理性质的影响，证明了该模型在取定的一定参数下，其物理性质对Euler方程的近似程度高于KdV方程,经典的Boussinesq模型和CH方程。并利用Darboux变换研究了CH-gamma方程的多孤子解的相互作用。讨论了弦运动生成的Lund-Regge(LR)方程孤子解的结构，LR曲面作为孤立子曲面的几何性质、相应的弦运动规律；研究了Minkowsk空间中环面(膜)的运动，得到一个高度非线性的2+1维波动方程组，证明了该方程组的很多有趣的性质。并尝试利用对称分析、摄动和数值计算的方法研究了期权定价中的广义Black-Schol模型，得到了一些新的结果。通过本项目的研究，对非线性水波问题，弦运动下的孤立子曲面和Minkowski空间中环面(膜)的运动的性质有了更深入的了解，对孤立子理论在金融数学中的应用做了探索性的工作，已经完成学术论文8篇，其中5篇已经发表在国内外重要的学术期刊上。