中文摘要：

申请者将运用量子场论中的方法, 结合数学中的李群，李代数，表示论，以及组合学方法，探索拓扑顶点相关的问题。主要探索拓扑顶点与Schur多项式、以及Macdonald多项式的内在联系。研究相研究拓扑顶点的代数问题；Macdonald多项式的椭圆推广。重点研究可积模型，尤其是超对称可积模型，如超对称Toda，Calogero-Moser模型，并进一步研究这些超对称可积模型与超对称规范理论的内在联系。研究两参数量子代数的顶点算子，尤其是它的两类顶点算子，以及两类屏蔽流算子之间的对偶性，为进一步理解和阐明几何化Langlands纲领的本质，提供更多的线索。

结论摘要：

该项目的主要有三方面的成果第一方面为顶点代数。顶点算子代数(简称VOA)是数学和物理的交叉学科。现在已经知道，超引力在(A)dS_3xS^3xS^3xE^2背景下,或者TypeIIB型Green-Scharwz弦的在(A)dS_3xS^3xS^3xS背景下，都具有隐藏的对称性，并由此确定了一个可积系统。该可积系统的无穷维对称性是含一个参数的李超Kac-Moody代数，而唯一带有一个自由参数的李超代数即 D(2，1；\alpha)，其中的参数为两个S^3的半径之比。此代数在弦理论，以及顶点算子理论研究中有诸多应用。自由场表示研究顶点算子强有力的工具，但对此李超代数，其自由场表示的研究一直是一个空白。我们最近的工作，通过很技巧地定义根的顺序，我们得到了有限维李超代数的微分算子表示。按一定的规则，我们得到所有根对应的流代数的自由场表示。我们还给出其屏蔽流的自由场表示。第二方面成果是关于可积场论。即求解描述玻色-爱因斯坦凝聚体和光孤子演化的各种推广形式下的非线性薛定谔方程的孤子解，双孤子的解析形式，以及它们的各种性质。第三方面的成果是关于引力理论。近年来通过对弦理论的研究，对引力理论有了更深刻的认识。从弦对偶理论的观点，经典的引力理论，是一个低能有效的理论, 因此，一般可以用低能有效作用量来描述。而且，这个作用量不但包含爱因斯坦-希尔伯特作用量，且包含高阶导数曲率项。在众多包含高阶导数曲率项的引力理论中，所谓的Lovelock引力理论具有许多特殊的性质。Lovelock引力的拉氏量是连续维扩展的欧拉密度之和。我们着重研究三Lovelock引力, 它的作用量包含四项宇宙学常数项，（Ricci 曲率标量）爱因斯坦项，Gauss-Bonnet项和三阶Lovelock项。我们讨论了一定条件下的Lovelock引力的解。研究了在平坦时空，和 AdS时空背景下的黑洞的解、热力学性质以及黑洞的稳定性和相变。