中文摘要：

本项目研究具非标准增长条件的变分问题和微分方程的解的性质。这里的非标准增长条件主要是指问题中梯度的幂指数不是一个常数而是一个函数的情形，微分方程主要是指椭圆型方程、抛物型方程及哈密尔顿系统。主要研究内容是相应问题的解的正则性、存在性、多解性、对称性及正解的存在与唯一性，其中特别要研究作为梯度的幂指数的那个函数不连续的情形，也研究在椭圆方程中的非线性项是索伯列夫临界增长甚至超临界增长的情形。本项目是一个新兴的研究课题，反映了各向异性、逐点异性等物理现象，有着重要与广泛的应用背景。此类问题由于有着更复杂的非线性性质，在研究中必须对原有的在标准增长条件情形使用的理论与方法进行创新，因此本项目的研究能够促进相关数学理论的发展。

结论摘要：

本项目研究具非标准增长条件的变分问题和微分方程的解的性质，主要研究具变指数的p(x)-Laplace方程的解的正则性、存在性、多解性和渐近性。我们较系统地给出了p(x)-Laplace方程在Dirichlet和Neumann边界条件下的弱解的全局正则性结果，也给出了当变指数不连续时使某些正则性成立的充分条件。研究了p(x)-Laplace算子的特征值，揭示了在此问题上变指数同常指数情形之间存在的本质差别。使用变分方法与上下解方法获得了一批关于p(x)-Laplace方程及方程组的解与正解的存在性、多解性及渐近性的结果。对B.Ricceri新近建立的变分原理进行了改进并将之应用于具变指数的微分方程。对变指数Lebesgue空间中的三种常用范数之间的关系进行了较为深入的研究。本项目是一个新兴的研究课题，有着重要与广泛的应用背景。我们的研究结果是对已有的在标准增长条件情形的有关结果的推广与发展。