中文摘要：

Lagrange系统是数理科学、生命科学以及社会科学领域中一类非常重要的系统，其最小周期解和次调和解问题的研究关系到动力系统的动力学性态的发展。本项目拟使用临界点理论来研究Lagrange系统的最小周期解和次调和解问题。具体地，发展和应用临界点理论中的Minimax方法和指标理论来建立Lagrange系统所对应变分泛函的临界点的存在性、多重性、唯一性以及不存在性定理，并利用这些定理来研究Lagrange系统的最小周期解和次调和解的存在性、多重性、唯一性以及不存在性问题。 本项目的研究不仅可以丰富和发展Lagrange系统理论，而且还将有助于临界点理论的补充和完善，具有较高的学术价值。

结论摘要：

Lagrange系统是一类广泛存在于数理科学、生命科学以及社会科学领域中的系统，对其解的研究对动力系统的发展有着重要的意义。本项目旨在发展和应用临界点理论中的Minimax方法和指标理论来建立Lagrange系统所对应变分泛函的临界点的存在性、多重性、唯一性以及不存在性定理，并利用这些定理来研究Lagrange系统的最小周期解和次调和解的存在性、多重性、唯一性以及不存在性问题。项目在执行过程中，主要获得了四个方面的研究成果（1）在渐进二次条件和一些其他合理的假设下，获得了一类带阻尼的二阶脉冲Lagrange系统具有一列不同的次调和解；（2）分别在超二次条件和次二次条件下，获得了一类带阻尼的二阶Lagrange系统具有无穷多个解；（3）在超p-次条件和一些其他合理的假设下，获得了一类p-Laplace常微分系统具有一个非平凡的同宿轨道；（4）在对称条件，pinching条件，超二次条件和一些其他合理的假设下，获得了一类椭圆边值问题具有无穷多个解，而在不假设对称条件的情形下，获得了该问题具有一个非平凡解。 本项目的研究不仅在Lagrange 系统的次调和解的存在性与多重性方面获得了相关结果，而且在p-Laplace常微分系统的非平凡同宿轨道的存在性和椭圆边值问题的非平凡解的存在性与多重性方面也获得了一些结果，这些研究结果以及研究过程中所使用的一些研究技巧对于临界点理论在常微分系统和偏微分方程中的应用都能起到一定的补充和完善作用。