中文摘要：

有限域上的指数和（如高斯和）是数论和算术几何中一个基本而重要的研究对象和工具。而指数和的计算问题是数论中重要而又困难的问题。虽然，人们对指数和绝对值的上下界估计与均值的计算已得到一系列的结果；但是，要给出指数和的显式计算公式却是十分困难的，目前人们能够给出显式计算公式的指数和并不多。本项目研究若干指数和的计算问题，力图给出它们显式的计算公式或值分布；进而，试图将这些指数和的计算结果应用到现代数论和算术几何的其它领域，以及信息安全中编码和密码等领域的研究中，例如决定周期序列的相关性能、对应的线性码的权分布以及覆盖半径,决定对应的秘密共享方案的存取结构,构造好的认证码和常组合码，以及构造好的量子纠错码等问题，这些问题均为近年来数学、物理、理论计算机等学科交叉的热点研究课题。

结论摘要：

有限域上的指数和的计算问题是数论中重要而又困难的问题。虽然，人们对指数和绝对值的上下界估计与均值的计算已得到一系列的结果；但是，要给出指数和的显式计算公式却是十分困难的，目前人们能够给出显式计算公式的指数和并不多。本项目主要研究了高斯和与高斯周期的计算问题，给出它们显式的计算公式和值分布，并利用Stickelberger同余式与Teichmuller特征的思想，给出了判断其符号的统一方法；进而，将这些指数和的计算结果应用到现代数论和算术几何的其它领域，以及信息安全中编码和密码等领域的研究中，例如决定相关分圆数的计算公式，并给出一批Sidel'nikov-序列自相关的值分布；给出相关循环码的重量分布公式，计算布尔函数的非线性度等问题。 本项目研究工作基本按照原计划顺利进行。目前，共计发表标记基金项目号的论文12篇 (见后文章目录1～4). 其中，8篇SCI，2篇EI，2篇国内核心. 另外，组织国际会议1次，组织国际交流短期课程一次，在境外国际学术会议上作邀请报告2次，在境内学术会议与交流中做报告5次；人才培养方面，协助项目主持人晋升副高职称，协助培养参加项目的3名博士生顺利毕业，指导3名本科生毕业，协助指导在读博士生2人。