中文摘要：

在无界区域均匀介质中单个障碍物对波的高频散射问题具有重要的数学、物理和工程背景，受到数学家、物理学家和工业界科研人员的广泛重视，是目前散射领域的研究热点。本项目研究二维时谐Helmholtz方程中存在的稳定性问题，对椭圆人工边界DtN(Dirichlet to Neumann)精确条件，证明连续问题的稳定性，给出显式依赖频率的估计；构建一种易实现的DtN局部迭代逼近方式，基于Mathieu特殊函数的性质和渐近估计，分析迭代问题的收敛性条件；采用高精度内部罚间断Galerkin方法逼近迭代问题，在剖分单元采用谱方法，并给出相应的p-有限元先验误差估计；结合数值试验对理论结果进行验证。本项研究对于丰富散射问题数值方法，促进其理论发展和完善，推动内部罚间断Galerkin方法的发展具有重要的科学意义。

结论摘要：

在无界区域均匀介质中单个障碍物对波的高频散射问题具有重要的数学、物理和工程背景，受到数学家、物理学家和工业界科研人员的广泛重视，是目前散射领域的研究热点。一方面，本项目研究二维时谐Helmholtz方程中存在的稳定性问题，对圆或椭圆人工边界Dirichlet to Neumann(DtN)精确条件，证明连续问题的稳定性，给出显式依赖频率的估计；构建一种易实现的DtN局部迭代逼近方式，基于Hankel、Mathieu特殊函数的性质和渐近估计，分析迭代问题的收敛性条件；采用高精度内部罚间断Galerkin方法逼近迭代问题，在剖分单元采用谱方法，并给出相应的p-有限元先验误差估计；结合数值试验对理论结果进行验证。另一方面，将内罚间断Galerkin方法应用于非线性抛物方程，时间上采用theta格式，证明了三种全离散格式的数值解的存在唯一性、稳定性，在合适的解析解正则性假定下，得到对称内罚theta隐格式的l2(H1)和l∞(L2)范数意义下的误差估计,且关于空间步长是最优的。此外，我们提出了一种新的类小波增量未知元方法求解具有多项式非线性反应扩散方程，当结合欧拉显式或半隐格式时间离散时，给出多层网格情形稳定性的充分性条件，改进了传统算法已有的稳定性限制。本项研究按计划如期结题，我们致力于丰富散射问题数值方法，促进其理论发展和完善，推动内部罚间断Galerkin方法的发展，也提供间断Galerkin方法在非线性抛物型偏微分方程中的数值分析和应用。