中文摘要：

反常系统(包括反常扩散模型、含反常噪声的随机微分方程系统，以及分数阶混沌系统)对弱信号的响应，以及反常系统中噪声诱导的非线性效应正在成为当前国内外学术研究的热点。本项目研究含周期信号的分数阶FP方程的导出、具有记忆核函数阻尼项的随机非线性系统的响应特性及噪声诱导的非线性效应、含反常噪声的欠阻尼系统或其他类型高维系统对弱周期信号的响应和随机共振现象，以及分数阶混沌系统的线性响应理论及其在分数阶混沌系统及其耦合单元对弱信号的传播中的应用。这些研究为人们深刻了解反常扩散过程的动力学本质提供理论和支持，为研究和揭示分数阶混沌动系统新现象、新方法提供理论框架和基础，并有助于发现外部信号在复杂系统如气候模型、神经网络、传染病网络中的传播特性及机理。本项目的研究也为进一步在自然科学和工程技术问题中运用反常扩散方法和分数阶微积分思想奠定理论基础。

结论摘要：

反常扩散系统的建模、求解和应用是近年来国内外统计物理和非线性动力学研究的前沿领域。在本项目的执行期间，我们以反常系统对弱周期信号的响应特性和噪声诱导的共振和同步效应为中心展开研究主要结果如下 导出了周期势次扩散系统的波动耗散关系，以此关系为基础我们分别发展了带权三角函数级数展开法和带权的多项式-三角函数重级数展开法，研究了过阻尼及欠阻尼次扩散周期势系统的稳态谱响应特性及次扩散对相关共振效应的影响；基于蒙特卡罗模拟技巧和解析方法，我们系统地研究了Alpha稳定噪声对双稳系统和阈值系统中随机共振现象的影响；以FitzHugh-Nagumo神经元模型为例，研究了非高斯噪声对可兴奋神经元模型中共振激励和相关共振现象的影响；基于从属过程模拟方法，我们研究了次扩散欠阻尼标准双稳系统中的随机共振现象。此外，为了理解空间相关噪声对复杂系统中非线性效应的影响，受本项目资助我们运用对称级数展开法研究了两个线性相互作用振子系统的局部空间负相关的产生机理、基于线性响应近似理论研究了局部空间负相关对Integrate-and-fire神经元阵列及其全局耦合反馈模型中随机共振现象的影响，并运用均场近似矩方法研究了全局相关噪声对FitzHugh-Nagumo神经元网络中随机同步现象的影响。