中文摘要：

非线性守恒律涉及应用科学的各个领域，例如物理、化学、工程、军事、气象、材料科学（半导体）和图象学等。冲击波、旋涡和各种界面的运动是这个领域的主要现象，它们不断地给数学家们提出许多新的问题和新的挑战。一维的问题已相对成熟，而高维问题的研究则方兴未艾。在2002年北京国际数学家大会上有四位数学家提出研究高维问题的困难、重要性和紧迫性。对高维问题认识上的困难促使我们研究具有典型物理背景的解，数值手段将是重要的辅助手段。本项目用理论和数值的方法研究高维非线性守恒律组解的结构，包括有重要物理意义的特解构造、高维非线性波（冲击波，接触间断等）的整体非线性稳定性和研究真正高维的高精度守恒型差分格式，并用之于工程、气象和图象学等。特别我们关注理论的研究和计算格式设计的相互作用，即理论的研究为计算格式的设计的基础；反过来，计算的结果为理论研究提供线索。

结论摘要：

本项目以气体动力学方程组- - 可压缩欧拉方程组为主要数学模型，主要研究了如下两方面问题 1、两维拟定常流的若干问题给出了两维拟定常流的特征分解，证明了常状态附近解的简单波。这个结论推广了一维非线性守恒律的结论。另外，对拟定常流双曲（超音）区域解有了深刻的刻画，并完全证明了气体向真空的扩散问题。 2、广义黎曼问题格式。通过引入拟黎曼不变量的概念，完全推广和简化了Ben-Artzi等80年代提出的广义黎曼问题格式。通过本项目的研究，完成了8篇论文在Communications in Mathematical Physics, Journal of Computational Physics,Numerische Mathematik等著名杂志上发表。