中文摘要：

研究带边界的经典场（包括由奇异拉氏量所描述的经典场）的正则量子化问题，由于边界的存在，正则量子化方案会遇到困难，因为正则变量之间的泊松括号（或狄拉克括号）在边界上会与边界条件相矛盾。在我们申请的课题中，我们拟采用两种不同的方法研究这个问题。第一种方法是设法修改泊松括号（或狄拉克括号），使它在空间的内部与通常的泊松括号（或狄拉克括号）一致，在边界上能够与边界条件相容。第二种方法是从离散的角度去研究这个问题。若离散后能够做正则量子化，则要求在离散化的过程中能够保持辛（多辛）结构，也就是要求在每一个离散的时空点上能够自洽地定义泊松括号（或狄拉克括号）。已有的对此问题的研究，仅限于没有边界和拉氏量是非奇异的情形。我们拟将以往的保辛结构问题推广到含有边界和由奇异拉氏量描述的模型中。总之，我们拟通过此项研究，分别从连续和离散的角度解决带边界的经典场论的正则量子化问题。

结论摘要：

我们研究了带边界的经典场的正则量子化问题，主要研究了有限空间中的由奇异拉氏量描述的经典场论系统的正则量子化问题。由奇异拉氏量描述的经典场论系统，存在内在的约束。同时，由于存在边界，因此又有边界条件。如果将边界条件当作Dirac初级约束，则这类模型中存在两种起源不同的约束。在边界上，这两种起源不同的约束相互纠缠，形成第二类约束。以往的关于这类问题的研究存在的问题是不能真正平等地处理这两种起源不同的约束，另外在最后的结果中存在一个小参数，这个小参数的物理意义和存在的必要性尚不清楚。为了避免这些问题，我们将空间变量离散化，从离散的角度，提出了一种新的方案。在我们的方案中，不仅平等地处理了这两种起源不同的约束，并且在离散的过程中通过对边界条件离散化的合理选择，保持了辛结构。作为此课题的延伸研究，我们研究D膜由于存在混合边界条件时所导致的非对易空间中的量子力学等相关问题。这些问题包括，非对易（相）空间中的Dirac谐振子，非对易（相）空间中的Chern-Simons力学等问题。我们的研究发现，对于有磁场的非对易量子力学模型，都存在一个无量纲的参数。当此参数取临界值是，这些模型会表现出一些发散行为。我们对发散性为进行了深入的研究，提出了合理的解决此问题的方案。