中文摘要：

在所有动力学方程中都存在"强不定问题"。应用经典的变分理论研究"强不定问题"有本质的困难首先，紧性条件，特别是Palais-Smale 条件一般是不成立的；其次，变分泛函在每个临界点的Morse指标是无穷大的，Morse理论不再适用；另外，梯度算子不具有"恒等算子+紧算子"的形式，这导致环绕定理中Leray-Schauder 度证明存在极大的困难，不同流形间的"相交数"很难确定。因此研究强不定动力系统具有重要的理论价值。本项目拟研究动力系统中"强不定问题"解的存在性其一是研究周期动力系统，包括Hamilton系统和Schrodinger方程，我们重点考虑0是自伴算子本质谱的情形，证明当耦合项满足某种较Ambrosetti-Rabinowitz更宽泛的超线性增长条件时系统同宿轨的存在性；其次，我们研究非周期动力系统，重点研究Dirac方程，证明超线性Dirac方程最小能量解的存在性。

结论摘要：

本项目研究了动力系统中“强不定问题”解的存在性，主要研究了下述问题 (1) 周期超线性强不定Hamilton系统同宿轨的存在性，主要考虑0是连续谱点的情形，且耦合项不满足经典的Ambrosetti-Rabinowitz超线性增长条件，这类问题是本项目研究领域的难点问题，利用经典变分理论处理此类问题有本质的困难，我们采用近期的一个变分理论的成果-弱环绕定理证明了此类系统同宿轨的存在性，完成了一篇研究论文。 (2) 非周期强不定Hamilton系统和Dirac方程解的存在性，我们主要考虑了超线性问题，放宽了对耦合项的“极限函数”的条件限制,证明了一类带有一般的超线性耦合项的Hamilton系统和Dirac方程解的存在性，完成了2篇论文，其中一篇已经接收。