中文摘要：

比例延迟Volterra积分方程是延迟积分方程的一个分支，在很多科学问题上得以广泛应用。通常只有极少数延迟积分方程能够获得精确解的解析表达式。对于延迟微分方程的数值方法，已有大量研究成果，但对延迟Volterra积分方程，研究结果还相对较少，且现有数值方法以差分法为主，还没有涉及有限元方面的研究。标准有限元方法已成功应用于常延迟微分方程；间断有限元方法也成功应用于比例延迟微分方程，并与配置法（m-stage Runge-Kutta法）相比较，显示出其在求解此类方程的优越性。本项目拟将有限元方法（标准和间断有限元）应用于比例延迟Volterra积分方程。将有限元方法和已有数值解法相比较，找出各种数值解法的优缺点；将h有限元法推广至hp有限元法，希望得到数值解的谱精度；另外，拟利用几种后处理加速技术，得到有限元解的超收敛，减少数值解对实际问题的影响，同时丰富求解延迟积分方程数值方法的理论框架。

结论摘要：

比例延迟Volterra积分方程是延迟积分方程的一个分支，在很多科学问题上得以广泛应用。其数值分析已经成为计算数学领域的一个重要组成部分。而对延迟Volterra积分方程，研究结果还相对较少，且现有数值方法以差分法为主，还没有涉及有限元方面的研究。 本项目针对比例延迟Volterra积分方程，开展有限元方法方面的研究。将比例延迟Volterra积分方程转化为比例延迟微分方程，开展了连续有限元、间断有限元及其后处理方面的研究。发表论文3篇，其中2篇发表在计算数学国际顶级期刊SIAM Journal on Scientific Computing上，另外完成并投稿2篇。完成了项目的预期目标。 具体研究成果简述如下 （1）基于项目负责人及其合作者关于间断有限元解在节点的超收敛结果，证明了间断有限元解与真解的插值之间的超逼近结果，找到了比例延迟微分方程的间断有限元解的所有超收敛点；基于超逼近结果及局部点的超收敛结果，提出了2大类不同的后处理格式基于插值型的后处理格式及基于迭代型的后处理格式。对基于插值型的后处理格式，申请人及其合作者也给出了几种不同形式的后处理格式，分别为Lagrange型、积分型、基于多项式保持的最小二乘型三种后处理格式。 （2）基于项目负责人及其合作者2010年底发表的关于比例延迟微分方程的间断有限元结果（h-格式），将只增加单元个数，不增加分片多项式次数的h间断有限元格式推广为增加单元个数及增加分片多项式次数并进的hp间断有限元格式，讨论了非线性光滑与弱奇异两种形式解的延迟微分方程的hp间断有限元方法，得到了各类h，p，hp间断有限元解的理论和数值结果。 （3）给出了比例延迟微分方程在一致网格剖分下连续有限元计算格式及存在唯一性证明，得到了连续有限元解的误差结果。 （4）得到了连续有限元解和真解插值之间的超逼近结果，并得到了连续有限元解的所有超收敛点，为构造合理的插值后处理格式，得到高精度的数值解奠定理论基础。