中文摘要：

本项目拟致力于几类非线性光子晶体在光通信系统实际应用中所产生问题的数学理论以及数值计算方法的研究，包括一维光子晶体中非线性光学效应（谐波、光学双稳态和慢光波导等）产生和增强的数学模型和有限元算法设计研究；二维光子晶体中非线性光学效应产生和增强的数学模型以及结合DtN映射的高效算法、有限元算法和自适应有限元算法的研究；光子晶体中非线性光学效应最优的晶格结构设计的数学模型和数值算法研究；基于完全匹配层法和自适应有限元方法进行非线性光子晶体波导、微腔、光子晶体光纤中光波传输模拟算法的研究等。光子晶体可控制光子的运动，是光电集成、光子集成、光通信的一种关键性基础材料，是结构化增强非线性光学效应的重要材料。本项目的目的是为光子晶体的非线性光学效应产生和增强提供数学模型、数值求解方法和结构设计指导，并努力使数学以及其他相关学科获得新的发展。

结论摘要：

光子晶体可控制光子的运动，是光电集成、光子集成、光通信的一种关键性基础材料，是结构化增强非线性光学效应的重要材料。本项目的目的是为光子晶体的非线性光学效应产生和增强提供数学模型、数值求解方法和结构设计指导，并研究数学模型、数值方法和优化算法在相关电磁场问题和通讯问题中的应用，努力使数学以及其他相关学科获得新的发展。项目执行期间，本项目主要涉及的研究内容包括光子晶体中非线性光学效应产生和增强的数学模型和有限元算法设计研究；基于有限元算法的非线性光子晶体结构最优化设计研究；基于有限元算法/自适应有限元算法，优化理论和智能算法进行二维光子晶体和光子晶体弯曲波导的数学模型以及结构设计研究；基于完全匹配层法和有限元方法进行电磁场问题(波动方程反问题, 利用电磁感应数据进行目标探测与识别问题)的研究；运用最优化理论和算法进行无线传感器定位问题的研究。本项目研究工作的主要进展和研究成果主要集中在光学和电磁场问题的数学模型和数值算法、优化模型、优化算法，及最优结构设计结果等。主要研究成果包括设计了强非线性效应下非线性连续性有限元-固定点迭代算法，并将之用于二次谐波，三次谐波及二次谐波和三次谐波同时激发的问题研究；基于非线性连续性有限元-固定点迭代算法和最优化理论，设计了非线性效应增强的最优晶格参数设计模型和数值算法，并由此构造了强非线性转换率的晶格结构；基于有限元方法和优化算法设计了二维光子晶体结构优化设计数学模型和数值算法，二维光子晶体弯曲波导问题数学模型和优化设计数值算法，并设计了低损耗宽带宽的弯曲波导；在研究实际应用问题时，取得了最优化问题的相关优化理论研究结果，设计了新的智能算法，并将优化研究结果用于通信中无线传感器定位问题的研究取得了接近CRB的数值模拟结果；此外，在波动方程反问题和利用电磁感应数据目标探测与识别问题方面，构造了逆时偏移算法和基于极化张量的分类算法。同时，本项目主要研究成果涉及的数值计算方法已初步整合成Matlab软件包，研究成果的主体模块已全部完成。本项目研究成果中的数学模型、有限元算法、优化理论和智能算法等可推广用于其他非线性光学效应以及光学器件结构最优设计的问题研究，也可以用于其他电磁场问题和无线通讯网络相关问题的研究。