中文摘要：

解的凸性研究是椭圆偏微分方程研究的重要课题之一，它与方程解的正则性、存在性以及唯一性等有紧密联系。方程解的凸性一般分为解函数本身的凸性与解的水平集的凸性。凸性研究方法主要有两种一是从宏观角度出发的其实质为弱极值原理的"凹性函数"的方法，二是从微观角度出发的其实质为强极值原理的常秩定理。本项目将对一些非线性椭圆方程、抛物方程解的水平集的Gaussian 曲率、主曲率等关键几何量给出最佳的定量估计，进而通过连续性方法得到相应方程解的水平集的凸性；对凸区域或凸环上某些方程给出其解的水平集凸性的充要条件；给出水平集凸性的一些应用。该项目结果具有首创性，并将为椭圆偏微分方程解的水平集凸性的研究提供新的方法与手段，加深对偏微分方程解的水平集凸性的理解，对方程与几何两方面的研究都有重要意义。

结论摘要：

在本项目支持下，三年来项目组成员积极开展研究活动，取得了一些好的研究成果，发表了SCI收录论文2篇、核心期刊论文1篇， 另有一篇论文已完成并投稿。研究成果的具体内容主要有三个方面，一是给出了2、3维的p-调和函数水平集高斯曲率的最佳定量估计；二是发现了极小曲面上与水平线曲率有关的调和函数与下调和函数，由此亦可以得到凸环上极小图的水平线凸性的定量估计；三是研究来自于共形几何的一类特殊的完全非线性方程，推广了分部积分方法在椭圆偏微分方程研究中的一些应用技巧，推导出有关方程解在孤立奇点附近的奇性估计以及全空间解的分类。 三年来，举行了小型学术研讨会2次，项目组成员还多次到合肥、上海等地参加国内学术会议，到中国科技大学等科研学术机构做短期访问研究；邀请国内专家来访、做学术报告6人次。通过与外界交流，增长了项目组成员的见识，提高了研究能力与学术水平，对依托单位的科研工作也有较大的提升作用。 当然，项目实施过程中也存在一些问题，遇到不少困难，比如一些研究内容难度过大，还处于探索阶段，暂时没有很好的研究结果，故对研究内容做了一些适当调整；还有一些主客观原因，使得对外交流不够，无法如期完成原计划的“举办学术会议、邀请国外专家来访、到国外研究机构访问研究”等学术研究交流活动。相应地，造成原预算的一些经费也未能安计划开支，经费结余过多。 总之，在本项目支持下，项目组成员积极开展研究工作，克服了实施过程中的一些困难，取得了较好的研究成果，同时自身学术研究水平也有了较大提高，基本达到了预期的研究目标。